16. На одной стороне прямого угла О отмечены две точки А и В так, что OA = 1,7, OB = a, ОА <ОВ. Составьте формулу, по которой можно вычислить радиус г окружности, проходящей через точки А, В и касающейся другой стороны угла.

Question

Вопрос:

16. На одной стороне прямого угла О отмечены две точки А и В так, что OA = 1,7, OB = a, ОА <ОВ. Составьте формулу, по которой можно вычислить радиус г окружности, проходящей через точки А, В и касающейся другой стороны угла.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Пусть прямой угол образован осями Ox и Oy. Точки A и B лежат на одной стороне угла, например, на оси Ox. Тогда их координаты будут \( A(1,7; 0) \) и \( B(a; 0) \).

Окружность проходит через точки A и B и касается другой стороны угла, то есть оси Oy. Центр окружности будет находиться на оси абсцисс (или на оси, параллельной ей, в зависимости от того, как расположен угол).

Пусть центр окружности имеет координаты \( C(x_0; y_0) \). Так как окружность касается оси Oy, то расстояние от центра до оси Oy равно радиусу \( r \). Следовательно, \( |x_0| = r \).

Расстояние от центра окружности до точки A равно радиусу \( r \):

\( (x_0 - 1.7)^2 + (y_0 - 0)^2 = r^2 \)

Расстояние от центра окружности до точки B равно радиусу \( r \):

\( (x_0 - a)^2 + (y_0 - 0)^2 = r^2 \)

Так как окружность касается оси Oy, то \( y_0 = 0 \) (если угол начинается в начале координат и точки A, B лежат на оси Ox). Тогда:

\( (x_0 - 1.7)^2 + 0^2 = r^2 \) (1)\( (x_0 - a)^2 + 0^2 = r^2 \) (2)\

Из (1) и (2) следует:

\( (x_0 - 1.7)^2 = (x_0 - a)^2 \)

Это даёт два случая:

\( x_0 - 1.7 = x_0 - a \) \( \rightarrow -1.7 = -a \) \( \rightarrow a = 1.7 \). Но по условию \( OA < OB \), то есть \( 1.7 < a \), значит, этот случай не подходит.
\( x_0 - 1.7 = -(x_0 - a) \) \( \rightarrow x_0 - 1.7 = -x_0 + a \) \( \rightarrow 2x_0 = a + 1.7 \) \( \rightarrow x_0 = \frac{a + 1.7}{2} \)

Подставим \( x_0 \) в уравнение (1) для нахождения \( r \):

\( r^2 = (\frac{a + 1.7}{2} - 1.7)^2 \)

\( r^2 = (\frac{a + 1.7 - 3.4}{2})^2 \)

\( r^2 = (\frac{a - 1.7}{2})^2 \)

\( r = \left| \frac{a - 1.7}{2} \right| \)

Поскольку \( OA < OB \), то \( 1.7 < a \), значит \( a - 1.7 > 0 \). Следовательно, \( r = \frac{a - 1.7}{2} \).

Условие:

Прямой угол. Точки A и B на одной стороне. OA = 1,7, OB = a, OA < OB. Окружность проходит через A и B и касается другой стороны угла.

Найти:

формулу для радиуса \( r \).

Решение:

Разместим прямой угол в начале координат так, чтобы точки A и B лежали на оси Ox. Координаты точек: \( A(1.7; 0) \) и \( B(a; 0) \).
Центр окружности \( C(x_0; y_0) \) находится на оси, перпендикулярной стороне, на которой лежат точки A и B. Если A и B на оси Ox, то центр на оси Oy: \( x_0 = 0 \).
Так как окружность касается другой стороны угла (оси Oy), то расстояние от центра до оси Oy равно радиусу: \( r = |x_0| = 0 \). Это не соответствует условию, так как окружность проходит через точки A и B, которые не лежат в начале координат.
Рассмотрим случай, когда центр окружности лежит на оси Ox. Тогда \( y_0 = 0 \). Центр \( C(x_0; 0) \).
Уравнение окружности: \( (x - x_0)^2 + y^2 = r^2 \).
Точки A и B лежат на окружности:
\( (1.7 - x_0)^2 + 0^2 = r^2 \) (1)
\( (a - x_0)^2 + 0^2 = r^2 \) (2)
Из (1) и (2): \( (1.7 - x_0)^2 = (a - x_0)^2 \).
\( 1.7 - x_0 = a - x_0 \) (не подходит, т.к. \( 1.7 \neq a \) по условию \( OA < OB \))
\( 1.7 - x_0 = -(a - x_0) = -a + x_0 \)
\( 1.7 + a = 2x_0 \)
\( x_0 = \frac{1.7 + a}{2} \)
Подставим \( x_0 \) в (1):
\( r^2 = (1.7 - \frac{1.7 + a}{2})^2 = (\frac{3.4 - 1.7 - a}{2})^2 = (\frac{1.7 - a}{2})^2 \)
\( r = |\frac{1.7 - a}{2}| \)
Так как \( OA < OB \), то \( 1.7 < a \), следовательно, \( 1.7 - a < 0 \).
\( r = -(\frac{1.7 - a}{2}) = \frac{a - 1.7}{2} \).

Альтернативное рассмотрение:

Пусть прямой угол образован осями Ox и Oy. Точки A и B лежат на оси Ox. OA=1.7, OB=a. Центр окружности \( C(x_0, y_0) \). Радиус \( r \).

Окружность проходит через A(1.7, 0) и B(a, 0). Центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, который является прямой \( x = \frac{1.7+a}{2} \). Значит, \( x_0 = \frac{1.7+a}{2} \).

Окружность касается оси Oy. Расстояние от центра до оси Oy равно радиусу: \( r = |x_0| = \frac{1.7+a}{2} \).

Также, расстояние от центра до точки A равно радиусу:

\( (x_0 - 1.7)^2 + (y_0 - 0)^2 = r^2 \)

\( (\frac{1.7+a}{2} - 1.7)^2 + y_0^2 = (\frac{1.7+a}{2})^2 \)

\( (\frac{1.7+a-3.4}{2})^2 + y_0^2 = (\frac{1.7+a}{2})^2 \)

\( (\frac{a-1.7}{2})^2 + y_0^2 = (\frac{1.7+a}{2})^2 \)

\( y_0^2 = (\frac{1.7+a}{2})^2 - (\frac{a-1.7}{2})^2 \)

\( y_0^2 = \frac{1}{4} [ (1.7+a)^2 - (a-1.7)^2 ] \)

\( y_0^2 = \frac{1}{4} [ (1.7^2 + 3.4a + a^2) - (a^2 - 3.4a + 1.7^2) ] \)

\( y_0^2 = \frac{1}{4} [ 1.7^2 + 3.4a + a^2 - a^2 + 3.4a - 1.7^2 ] \)

\( y_0^2 = \frac{1}{4} [ 6.8a ] = 1.7a \)

\( y_0 = {1.7a} \)

Это координата центра. Нас просят найти радиус \( r \).

Мы нашли, что \( r = x_0 = \frac{1.7+a}{2} \).

Переформулируем задачу, чтобы было понятнее:

О — вершина прямого угла. На одной из сторон угла (например, Ox) расположены точки A и B. OA = 1,7, OB = a, при этом 1,7 < a. Окружность проходит через точки A и B и касается другой стороны угла (Oy).

Пусть центр окружности — \( C(x_0, y_0) \). Радиус — \( r \).

Условие касания оси Oy: \( r = |x_0| \).

Условие прохождения через A(1.7, 0) и B(a, 0):

\( (1.7 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 = r^2 \) (1)\( (a - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 = r^2 \) (2)\

Из (1) и (2): \( (1.7 - x_0)^2 + y_0^2 = (a - x_0)^2 + y_0^2 \)

\( (1.7 - x_0)^2 = (a - x_0)^2 \)

\( 1.7 - x_0 = (a - x_0)^2 \)

\( 1.7 - x_0 = a - x_0 \)

Варианты:

\( 1.7 - x_0 = a - x_0 \) \( \rightarrow 1.7 = a \). Не подходит, так как \( 1.7 < a \).
\( 1.7 - x_0 = -(a - x_0) = -a + x_0 \)
\( 1.7 + a = 2x_0 \)
\( x_0 = \frac{1.7 + a}{2} \)

Теперь используем условие касания: \( r = |x_0| \). Поскольку \( x_0 = \frac{1.7 + a}{2} \) и \( a > 1.7 \), то \( x_0 > 0 \), значит \( r = x_0 = \frac{1.7 + a}{2} \).

Проверим, что точки A и B лежат на окружности с таким радиусом и центром.

\( r^2 = (\frac{1.7 + a}{2})^2 \)

Подставим \( r \) и \( x_0 \) в уравнение (1):

\( (1.7 - \frac{1.7 + a}{2})^2 + y_0^2 = (\frac{1.7 + a}{2})^2 \)

\( (\frac{3.4 - 1.7 - a}{2})^2 + y_0^2 = (\frac{1.7 + a}{2})^2 \)

\( (\frac{1.7 - a}{2})^2 + y_0^2 = (\frac{1.7 + a}{2})^2 \)

\( y_0^2 = (\frac{1.7 + a}{2})^2 - (\frac{1.7 - a}{2})^2 \)

\( y_0^2 = \frac{(1.7 + a)^2 - (1.7 - a)^2}{4} = \frac{(1.7^2 + 3.4a + a^2) - (1.7^2 - 3.4a + a^2)}{4} = \frac{6.8a}{4} = 1.7a \)

\( y_0 = 1.7a \). Это действительное значение, значит, окружность существует.

Формула радиуса:

\( r = \frac{a + 1.7}{2} \)

Примечание: Такая постановка задачи, где точки A и B находятся на одной стороне прямого угла, а окружность касается другой стороны, предполагает, что центр окружности лежит на биссектрисе угла. Однако, в данном случае, точки A и B не равноудалены от вершины угла, что нарушает симметрию и приводит к центру вне биссектрисы. Рассмотрим случай, когда окружность касается оси Ox и Oy.

Переосмыслим условие:

Прямой угол \( ∠ AOB \). Точки A и B лежат на стороне OA. OA = 1.7, OB = a, OA < OB. Окружность проходит через A и B и касается стороны OB.

Пусть вершина угла — \( O(0,0) \). Сторона OA — ось Ox. Сторона OB — ось Oy.

Точки A и B лежат на оси Ox. Координаты: \( A(1.7, 0) \) и \( B(a, 0) \).

Окружность касается оси Oy. Центр окружности \( C(x_0, y_0) \). Радиус \( r \).

Условие касания оси Oy: \( r = |x_0| \).

Окружность проходит через A и B:

\( (1.7 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 = r^2 \) (1)\( (a - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 = r^2 \) (2)\

Из (1) и (2) получаем \( x_0 = \frac{1.7 + a}{2} \).

Так как \( r = |x_0| \) и \( x_0 > 0 \) (поскольку \( a > 1.7 \)), то \( r = x_0 = \frac{1.7 + a}{2} \).

Ответ:

Формула для радиуса \( r \) окружности, проходящей через точки A и B и касающейся другой стороны угла, имеет вид:

\( r = \frac{a + 1.7}{2} \)