16. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что NBA = 48. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( ∠ NBA \) и угол \( ∠ NMA \) опираются на одну дугу \( NA \), поэтому \( ∠ NMA = ∠ NBA = 48^\circ \).

Угол \( ∠ MNB \) вписан в окружность и опирается на диаметр \( AB \), следовательно, он прямой: \( ∠ MNB = 90^\circ \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ MNB \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Поэтому:

\( ∠ NMB + ∠ MNB + ∠ BNM = 180^\circ \)

\( ∠ NMB + 90^\circ + ∠ BNM = 180^\circ \)

Так как \( ∠ BNM \) и \( ∠ BAN \) опираются на одну дугу \( BM \), то \( ∠ BNM = ∠ BAN \).

Угол \( ∠ BAN \) и \( ∠ BMN \) опираются на дугу \( BN \). Следовательно, \( ∠ BAN = ∠ BMN \).

Вернемся к треугольнику \( △ MNB \):

\( ∠ NMB = 180^\circ - 90^\circ - ∠ BNM = 90^\circ - ∠ BNM \).

Угол \( ∠ AMB \) является вписанным углом, опирающимся на диаметр \( AB \), значит, \( ∠ AMB = 90^\circ \).

\( ∠ AMB = ∠ AMN + ∠ NMB \).

Из \( ∠ NBA = 48^\circ \) и \( ∠ AMB = 90^\circ \) следует, что \( ∠ NMB = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ \).

Ответ: 42.