16. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

По условию задачи:

• Точка C лежит на отрезке AB.
• AC = 75.
• BC = 10.
• Окружность имеет центр в точке A и проходит через точку C. Это означает, что радиус окружности R = AC = 75.
• Из точки B проведена касательная к окружности. Пусть точка касания будет T.

Отрезок BT — это касательная к окружности. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания (AT), перпендикулярен касательной (BT).

Таким образом, треугольник ATB является прямоугольным с прямым углом T.

В этом треугольнике:

• Катет AT = R = 75.
• Гипотенуза AB = AC + CB = 75 + 10 = 85.

Мы ищем длину касательной BT. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ATB:

\[ AB^2 = AT^2 + BT^2 \]

Выразим BT:

\[ BT^2 = AB^2 - AT^2 \]

\[ BT = \sqrt{AB^2 - AT^2} \]

Подставим значения:

\[ BT = \sqrt{85^2 - 75^2} \]

Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ BT = \sqrt{(85-75)(85+75)} \]

\[ BT = \sqrt{10 \cdot 160} \]

\[ BT = \sqrt{1600} \]

\[ BT = 40 \]

Ответ: 40.