16. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АВ = АС. Точка М лежит внутри угла А и МВ = МС. На прямой АМ отмечена точка D так, что М лежит между точками А и D. Докажите, что ∠BMD = ∠CMD.

Доказательство:

Дано: \( \angle BAC \) — угол. \( B \) и \( C \) — точки на сторонах угла \( A \). \( AB = AC \). \( M \) — точка внутри \( \angle A \) такая, что \( MB = MC \). \( D \) — точка на прямой \( AM \) такая, что \( M \) лежит между \( A \) и \( D \).

Доказать: \( \angle BMD = \angle CMD \).

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \). Так как \( AB = AC \), то треугольник \( ABC \) — равнобедренный.
2. Рассмотрим треугольник \( MBC \). Так как \( MB = MC \), то треугольник \( MBC \) — равнобедренный.
3. Проведём луч \( AM \). Поскольку \( AB = AC \) и \( MB = MC \), прямая \( AD \) (на которой лежит \( AM \)) является биссектрисой \( \angle BAC \) и также биссектрисой \( \angle BMC \).
4. Так как \( AD \) — биссектриса равнобедренного \( \triangle ABC \), то \( AD \) является также медианой и высотой. Следовательно, \( AD \perp BC \) и \( \angle AMB = \angle AMC \).
5. Так как \( AD \) — биссектриса равнобедренного \( \triangle MBC \) (так как \( M \) лежит на биссектрисе \( \angle BAC \) угла \( A \), а \( B, C \) лежат на сторонах \( A \), и \( AB=AC, MB=MC \), то \( AD \) является осью симметрии для \( \triangle ABC \) и \( \triangle MBC \)), то \( AD \) также является медианой и высотой. Следовательно, \( AD \perp BC \) и \( \angle BMD = \angle CMD \).
6. С более строгим обоснованием: Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle ACM \).
7. У нас есть \( AB = AC \), \( MB = MC \) и \( AM \) — общая сторона.
8. По трём сторонам (SSS), \( \triangle ABM \) = \( \triangle ACM \).
9. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: \( \angle BAM = \angle CAM \) и \( \angle BMA = \angle CMA \).
10. Так как \( \angle BMA = \angle CMA \) и \( D \) лежит на луче \( AM \) так, что \( M \) между \( A \) и \( D \), то \( \angle BMD \) и \( \angle CMD \) являются смежными углами к \( \angle BMA \) и \( \angle CMA \) соответственно, или их продолжением.
11. Так как \( M \) лежит на отрезке \( AD \), то \( \angle AMB + \angle BMD = 180^{\circ} \) и \( \angle AMC + \angle CMD = 180^{\circ} \).
12. Поскольку \( \angle AMB = \angle AMC \), то \( 180^{\circ} - \angle BMD = 180^{\circ} - \angle CMD \).
13. Следовательно, \( \angle BMD = \angle CMD \).

Доказано.