16. На зимнюю математическую школу ОШ «Взлёт» приехали 12 пятиклассников. Каждый день они проводят учебные математические игры. Для этого часть пятиклассников делится на 2 команды, а остальные становятся зрителями. В командах, разумеется, должно быть хотя бы по одному человеку. Какое наибольшее число дней можно проводить математические игры так, чтобы две противоборствующие команды не повторялись?

Каждого из 12 учеников можно отнести к одной из трёх групп: в первую команду, во вторую команду или к зрителям.

Всего таких распределений: \(3^{12}\).

Исключим распределения, в которых одна из команд пуста:

• первая команда пуста — \(2^{12}\) способов;
• вторая команда пуста — \(2^{12}\) способов;
• обе команды пусты учтены дважды, поэтому один способ добавляем обратно.

Число распределений с двумя непустыми командами равно:

\[3^{12}-2\cdot2^{12}+1=531441-8192+1=523250.\]

При обмене названиями команд («первая» и «вторая») игра не меняется, поэтому делим результат на 2:

\[\frac{523250}{2}=261625.\]

Ответ: 261625 дней.