16. Найди значение выражения \(\frac{\log_{\sqrt{5}} 16}{5 \cdot \log_{5} 4}\)

Привет! Давай разберем это логарифмическое выражение шаг за шагом.

Дано:

• \[ \frac{\log_{\sqrt{5}} 16}{5 \cdot \log_{5} 4} \]

Решение:

1. Преобразуем знаменатель:

   По свойству логарифмов, \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \). В нашем случае основание \( \sqrt{5} = 5^{1/2} \). Так что, \( \log_{\sqrt{5}} 16 = \log_{5^{1/2}} 16 = \frac{1}{1/2} \log_5 16 = 2 \log_5 16 \).

   Теперь подставим это в числитель:

   \[ \log_{\sqrt{5}} 16 = 2 \log_5 16 \]
2. Используем свойство логарифма степени: \( \log_a b^k = k \log_a b \). Так как \( 16 = 4^2 \), то:
   \[ 2 \log_5 16 = 2 \log_5 (4^2) = 2 \cdot 2 \log_5 4 = 4 \log_5 4 \]
3. Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:
   \[ \frac{4 \log_5 4}{5 \cdot \log_5 4} \]
4. Сокращаем одинаковые множители: \( \log_5 4 \)
5. Получаем:

Ответ:

\[ \frac{4}{5} \]