16. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 23°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как AC и BD — диаметры окружности с центром O, то AC = BD. Также, OA = OB = OC = OD (радиусы окружности).

Рассмотрим треугольник BOC. Так как OB = OC, то он равнобедренный. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BC.

Связь между центральным и вписанным углами, опирающимися на одну дугу: центральный угол в два раза больше вписанного. Следовательно, \( \angle BOC = 2 \cdot \angle ACB \).

По условию \( \angle ACB = 23^{\circ} \).

\( \angle BOC = 2 \cdot 23^{\circ} = 46^{\circ} \).

Угол AOD и угол BOC являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны.

Следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC = 46^{\circ} \).

Ответ: 46.