16. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 34°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\( AC \) и \( BD \) — диаметры окружности с центром \( O \). Это значит, что \( O \) — середина \( AC \) и \( BD \).

\( ∠ ACB = 34^\circ \).

Так как \( AB \) — хорда, опирающаяся на диаметр \( AC \) (или \( BD \)), то угол \( ∠ ABC \) является вписанным углом, опирающимся на диаметр, и поэтому равен \( 90^\circ \).

В треугольнике \( ABC \):

\( ∠ BAC = 180^\circ - ∠ ABC - ∠ ACB \)

\( ∠ BAC = 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \).

Угол \( ∠ AOD \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( AD \).

Угол \( ∠ BCD \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( BD \), которая является полуокружностью, поэтому \( ∠ BCD = 90^\circ \).

Угол \( ∠ CAD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \). Угол \( ∠ CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \). Следовательно, \( ∠ CAD = ∠ CBD \).

Угол \( ∠ BAC = 56^\circ \). Угол \( ∠ CAD \) равен \( ∠ BAC \) как вертикальные углы, если бы \( BD \) пересекал \( AC \) в точке \( O \), что так и есть. Нет, это не так.

Угол \( ∠ CBD \) опирается на дугу \( CD \). Угол \( ∠ CAD \) опирается на дугу \( CD \). Значит \( ∠ CBD = ∠ CAD \).

Рассмотрим треугольник \( BOC \). \( OB = OC \) (радиусы). Треугольник \( BOC \) равнобедренный.

Рассмотрим треугольник \( AOD \). \( OA = OD \) (радиусы). Треугольник \( AOD \) равнобедренный.

Угол \( ∠ ACB = 34^\circ \). Это вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \).

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу \( AB \) — это угол \( ∠ AOB \).

\( ∠ AOB = 2 ∠ ACB \) (если бы \( C \) был на окружности, а \( A, B \) были бы крайними точками дуги).

Но \( ∠ ACB = 34^\circ \) — это вписанный угол. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу \( AB \), это \( ∠ AOB \). \( ∠ AOB = 2 ∠ ACB \) НЕ ВЕРНО, так как \( ∠ ACB \) опирается на дугу \( AB \), а \( ∠ AOB \) — это центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Но \( ∠ ACB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AB \), а \( ∠ AOB \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( AB \). Следовательно, \( ∠ AOB = 2 ∠ ACB \) — ЭТО НЕ ВЕРНО, потому что \( ∠ ACB \) не опирается на дугу \( AB \). Угол \( ∠ ACB \) опирается на дугу \( AB \).

Угол \( ∠ ACB = 34^\circ \) — вписанный, опирающийся на дугу \( AB \). Тогда центральный угол \( ∠ AOB \) равен \( 2 ∠ ACB \) — это неверно. Центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \) — это \( ∠ AOB \).

Угол \( ∠ ADB \) — вписанный, опирающийся на дугу \( AB \). Значит \( ∠ ADB = ∠ ACB = 34^\circ \).

Угол \( ∠ CAD \) — вписанный, опирающийся на дугу \( CD \). Угол \( ∠ CBD \) — вписанный, опирающийся на дугу \( CD \). Значит \( ∠ CAD = ∠ CBD \).

Угол \( ∠ BAC = 56^\circ \). Угол \( ∠ BDC \) — вписанный, опирающийся на дугу \( BC \). Угол \( ∠ BAC \) — вписанный, опирающийся на дугу \( BC \). Значит \( ∠ BDC = ∠ BAC = 56^\circ \).

Угол \( ∠ AOD \) и угол \( ∠ BOC \) — вертикальные, следовательно \( ∠ AOD = ∠ BOC \).

Угол \( ∠ AOB \) и угол \( ∠ COD \) — вертикальные, следовательно \( ∠ AOB = ∠ COD \).

В треугольнике \( BOC \): \( OB = OC \) (радиусы), значит он равнобедренный.

\( ∠ OBC = ∠ OCB \). \( ∠ OCB = ∠ ACB = 34^\circ \).

\( ∠ BOC = 180^\circ - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180^\circ - (34^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \).

Так как \( ∠ AOD = ∠ BOC \) (вертикальные углы), то \( ∠ AOD = 112^\circ \).

Ответ: 112