16. Озаглавьте таблицу и заполните пропуски в ней. Докажите признаки параллелограмма. 1) Дано: четырёхугольник BCDE, BC ___ DE и BC ___ DE. Доказать: BCDE — ___. Проведём диагональ ___. По условию BC || ___, следовательно, ∠1 = ∠___ (накрест ___ при параллельных BC и ___ и секущей ___). △BEC ___ △DCE по двум сторонам и углу между ними (BC = ___, CE — общая, ∠1 = ∠___), следовательно, ∠3 = ∠___. Тогда по признаку ___ прямые CD || ___ (___ лежащие углы ___ и 4 равны). Итак, BC || ___ и CD || ___, следовательно, четырёхугольник BCDE по ___ является ___. 2) Дано: четырёхугольник BCDE, BC ___ DE и BE ___ CD. Доказать: BCDE — ___.

Признак параллелограмма

1) Доказательство признака: одна пара противоположных сторон равна и параллельна.

Дано: четырёхугольник BCDE, BC = DE и BC ∥ DE. Доказать: BCDE — параллелограмм.

1. Проведём диагональ CE. По условию BC ∥ DE, поэтому ∠1 = ∠2: это накрест лежащие углы при параллельных BC и DE и секущей CE.
2. В треугольниках BEC и DCE: BC = DE, CE — общая сторона, ∠1 = ∠2. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Из равенства треугольников следует ∠3 = ∠4. Это накрест лежащие углы, поэтому CD ∥ BE.
4. Итак, BC ∥ DE и CD ∥ BE. Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, BCDE по определению является параллелограммом.

2) Доказательство признака: противоположные стороны попарно равны.

Дано: четырёхугольник BCDE, BC = DE и BE = CD. Доказать: BCDE — параллелограмм.

1. Проведём диагональ BD. В треугольниках BCD и DEB: BC = DE, CD = BE, а BD — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам.
2. Из равенства треугольников следуют равенства соответствующих углов. Поэтому BC ∥ DE и BE ∥ CD (равны накрест лежащие углы при секущей BD).
3. Так как обе пары противоположных сторон параллельны, четырёхугольник BCDE — параллелограмм.