16. При движении тела по прямой от начальной точки М путь S(t) (в метрах) изменяется по закону S(t)= (3t+1)/(t-2) (t - время в секундах). Найдите скорость в момент t = 7с.

Решение:

Чтобы найти скорость тела в момент времени 7с, сначала найдём формулу скорости, продифференцировав закон движения пути, а затем подставим значение времени.

1. Найдем формулу скорости, продифференцировав закон движения пути по времени. Используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 3t+1 \) и \( v = t-2 \).
2. Найдем производные числителя и знаменателя:
   \( u' = \frac{d}{dt}(3t+1) = 3 \)
   \( v' = \frac{d}{dt}(t-2) = 1 \)
3. Применим правило дифференцирования частного:
   \( v(t) = S'(t) = \frac{3(t-2) - (3t+1)(1)}{(t-2)^2} \)
   \( v(t) = \frac{3t - 6 - 3t - 1}{(t-2)^2} \)
   \( v(t) = \frac{-7}{(t-2)^2} \)
4. Подставим время \( t = 7 \) с в формулу скорости:
   \( v(7) = \frac{-7}{(7-2)^2} \)
   \( v(7) = \frac{-7}{(5)^2} \)
   \( v(7) = \frac{-7}{25} \) м/с.

Ответ: -7/25 м/с.