16. прямая, проходящая через середину гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, перпендикулярна СМ и пересекает АС в точке К; при этом АК: КС = 1:2. Доказать: \angle BAC = 30^{\circ}. Пусть МК и ВС пересекаются в точке Р, а прямые АР и ВК в точке Q. Найти: KQ, если BC = \sqrt{21}.

Question

Вопрос:

16. прямая, проходящая через середину гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, перпендикулярна СМ и пересекает АС в точке К; при этом АК: КС = 1:2. Доказать: \angle BAC = 30^{\circ}. Пусть МК и ВС пересекаются в точке Р, а прямые АР и ВК в точке Q. Найти: KQ, если BC = \sqrt{21}.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Задача состоит из нескольких частей: доказательство угла, нахождение отрезка и, возможно, дальнейшие геометрические построения.

Доказательство угла:

Введем систему координат. Пусть C = (0,0), A = (0, a), B = (b, 0). Тогда гипотенуза AB задается уравнением: \[ \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1 \quad \implies \quad ax + by = ab \]
Середина гипотенузы M будет иметь координаты \[ M = \left( \frac{b}{2}, \frac{a}{2} \right) \]
Прямая CM, соединяющая вершину C с серединой гипотенузы, является медианой.
Прямая, проходящая через M и перпендикулярная CM, будет иметь наклон \[ k_{MK} = - \frac{1}{k_{CM}} \]
Уравнение прямой CM: \[ y = \frac{a/2}{b/2} x = \frac{a}{b} x \]
Уравнение прямой MK: \[ y - \frac{a}{2} = -\frac{b}{a} \left( x - \frac{b}{2} \right) \]
Точка K лежит на AC, значит, ее координата по x равна 0. Подставим x=0 в уравнение MK: \[ y_K - \frac{a}{2} = -\frac{b}{a} \left( 0 - \frac{b}{2} \right) = \frac{b^2}{2a} \]
\[ y_K = \frac{a}{2} + \frac{b^2}{2a} = \frac{a^2 + b^2}{2a} \]
По условию, K лежит на AC, а AC имеет длину a. То есть K = (0, y_K).
Условие АК: КС = 1:2 означает, что точка K делит отрезок AC в отношении 1:2. То есть, если A=(0,a) и C=(0,0), то K=(0, a/3).
Приравниваем координаты y_K: \[ \frac{a^2 + b^2}{2a} = \frac{a}{3} \]
\[ 3(a^2 + b^2) = 2a^2 \]
\[ 3a^2 + 3b^2 = 2a^2 \]
\[ a^2 + 3b^2 = 0 \]
Это уравнение не имеет действительных решений для a и b, кроме a=0, b=0, что невозможно для треугольника. Следовательно, есть ошибка в интерпретации или условии задачи.
Переосмысление условия: Предположим, что M — середина гипотенузы AB, и прямая, проходящая через M перпендикулярно CM, пересекает AC в точке K.
Пусть C=(0,0), A=(0,b), B=(a,0). Тогда гипотенуза AB: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]
Середина гипотенузы M = \[ \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \]
Прямая CM: \[ y = \frac{b/2}{a/2} x = \frac{b}{a} x \]
Наклон CM = \[ k_{CM} = \frac{b}{a} \]
Прямая, перпендикулярная CM, имеет наклон \[ k_{MK} = -\frac{a}{b} \]
Уравнение прямой MK: \[ y - \frac{b}{2} = -\frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{2} \right) \]
Точка K лежит на AC (ось Y), значит, x_K = 0. \[ y_K - \frac{b}{2} = -\frac{a}{b} \left( 0 - \frac{a}{2} \right) = \frac{a^2}{2b} \]
\[ y_K = \frac{b}{2} + \frac{a^2}{2b} = \frac{b^2 + a^2}{2b} \]
Точка K лежит на отрезке AC. Координаты A=(0,b), C=(0,0). Значит K=(0, y_K).
По условию АК: КС = 1:2. То есть длина AK = 1/3 длины AC, а длина KC = 2/3 длины AC.
AC = b. КС = y_K. \[ y_K = \frac{2}{3} b \]
Приравниваем: \[ \frac{b^2 + a^2}{2b} = \frac{2}{3} b \]
\[ 3(b^2 + a^2) = 4b^2 \]
\[ 3b^2 + 3a^2 = 4b^2 \]
\[ 3a^2 = b^2 \]
\[ \frac{b^2}{a^2} = 3 \]
\[ \frac{b}{a} = \sqrt{3} \]
В прямоугольном треугольнике ABC: \[ \tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b} \]
\[ \tan(\angle BAC) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ \angle BAC = 30^{\circ} \]
Доказано.
2. Нахождение KQ:

Пусть M = (x_M, y_M), K = (x_K, y_K), B = (x_B, y_B), C = (x_C, y_C), P = (x_P, y_P), A = (x_A, y_A), Q = (x_Q, y_Q).
Мы уже нашли, что \[ \frac{b}{a} = \sqrt{3} \], то есть AC = b, BC = a, и \[ \tan(\angle BAC) = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ \angle ABC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]
Пусть C=(0,0), B=(a,0), A=(0,b). \[ a = BC = \sqrt{21} \]
\[ b = AC = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = \sqrt{7} \]
M - середина AB: \[ M = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right) \]
K - точка на AC (x=0) такая, что KC = 2/3 AC. \[ K = \left( 0, \frac{2}{3} b \right) = \left( 0, \frac{2\sqrt{7}}{3} \right) \]
Прямая MK: \[ y - \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7}}{2}}{0 - \frac{\sqrt{21}}{2}} \left( x - \frac{\sqrt{21}}{2} \right) \]
\[ \frac{\frac{4\sqrt{7}-3\sqrt{7}}{6}}{-\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{6}}{-\frac{\sqrt{21}}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{6} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{21}}\right) = -\frac{\sqrt{7}}{3\sqrt{21}} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} \]
\[ y - \frac{\sqrt{7}}{2} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} \left( x - \frac{\sqrt{21}}{2} \right) \]
Прямая BC: y=0. Точка P - пересечение MK и BC. \[ 0 - \frac{\sqrt{7}}{2} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} \left( x_P - \frac{\sqrt{21}}{2} \right) \]
\[ \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot 3\sqrt{3} = x_P - \frac{\sqrt{21}}{2} \]
\[ x_P = \frac{3\sqrt{21}}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} = \frac{4\sqrt{21}}{2} = 2\sqrt{21} \]
\[ P = (2\sqrt{21}, 0) \]
Прямая AP: A=(0, \sqrt{7}), P=(2\sqrt{21}, 0). \[ y - 0 = \frac{\sqrt{7}-0}{0 - 2\sqrt{21}} (x - 2\sqrt{21}) \]
\[ y = \frac{\sqrt{7}}{-2\sqrt{21}} (x - 2\sqrt{21}) = -\frac{1}{2\sqrt{3}} (x - 2\sqrt{21}) \]
Прямая BK: B=(\sqrt{21}, 0), K=(0, \frac{2\sqrt{7}}{3}). \[ y - 0 = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{3} - 0}{0 - \sqrt{21}} (x - \sqrt{21}) \]
\[ y = \frac{2\sqrt{7}}{-3\sqrt{21}} (x - \sqrt{21}) = -\frac{2}{3\sqrt{3}} (x - \sqrt{21}) \]
Точка Q - пересечение AP и BK. Приравниваем y: \[ -\frac{1}{2\sqrt{3}} (x_Q - 2\sqrt{21}) = -\frac{2}{3\sqrt{3}} (x_Q - \sqrt{21}) \]
Умножим на 6\sqrt{3}: \[ -3(x_Q - 2\sqrt{21}) = -4(x_Q - \sqrt{21}) \]
\[ -3x_Q + 6\sqrt{21} = -4x_Q + 4\sqrt{21} \]
\[ x_Q = -2\sqrt{21} \]
Найдем y_Q, подставив x_Q в уравнение BK: \[ y_Q = -\frac{2}{3\sqrt{3}} (-2\sqrt{21} - \sqrt{21}) = -\frac{2}{3\sqrt{3}} (-3\sqrt{21}) = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7} \]
\[ Q = (-2\sqrt{21}, 2\sqrt{7}) \]
Найти KQ. K=(0, \[ \frac{2\sqrt{7}}{3} \]), Q=(-2\sqrt{21}, 2\sqrt{7}). \[ KQ = \sqrt{ (x_Q - x_K)^2 + (y_Q - y_K)^2 } \]
\[ KQ = \sqrt{ (-2\sqrt{21} - 0)^2 + (2\sqrt{7} - \frac{2\sqrt{7}}{3})^2 } \]
\[ KQ = \sqrt{ (4 \cdot 21) + (\frac{6\sqrt{7}-2\sqrt{7}}{3})^2 } \]
\[ KQ = \sqrt{ 84 + (\frac{4\sqrt{7}}{3})^2 } \]
\[ KQ = \sqrt{ 84 + \frac{16 \cdot 7}{9} } = \sqrt{ 84 + \frac{112}{9} } \]
\[ KQ = \sqrt{ \frac{84 × 9 + 112}{9} } = \sqrt{ \frac{756 + 112}{9} } = \sqrt{ \frac{868}{9} } \]
\[ \sqrt{868} = \sqrt{4 \cdot 217} = 2\sqrt{217} \]
\[ KQ = \frac{2\sqrt{217}}{3} \]

Ответ: KQ = \[ \frac{2\sqrt{217}}{3} \]