16. Радиус ОА окружности с центром в точке О пересекает хорду в точке D и перпендикулярен ей (см. рис. 89). Найдите длину хорды (в см), если AD = 8 см, а радиус окружности равен 13 см.

Решение:

Радиус ОА равен 13 см.

Точка D лежит на радиусе ОА. По условию, AD = 8 см.

Значит, отрезок OD равен:

\( OD = OA - AD = 13 \text{ см} - 8 \text{ см} = 5 \text{ см} \)

Радиус, проведённый к хорде перпендикулярно, делит её пополам. Значит, OD является высотой и медианой в равнобедренном треугольнике ОАС (так как ОА = ОС = радиус).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ODC. По теореме Пифагора:

\( OC^2 = OD^2 + DC^2 \)

\( 13^2 = 5^2 + DC^2 \)

\( 169 = 25 + DC^2 \)

\( DC^2 = 169 - 25 \)

\( DC^2 = 144 \)

\( DC = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \)

Так как OD делит хорду АС пополам, то длина хорды АС равна:

\( AC = 2 \cdot DC = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см} \)

Ответ: 24 см.