16 Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(24\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Пусть \(R\) — радиус описанной окружности, а \(r\) — радиус вписанной окружности. Пусть \(a\) — сторона квадрата.

1. Связь радиуса описанной окружности со стороной квадрата:

Диагональ квадрата \(d\) равна \(a\sqrt{2}\). Радиус описанной окружности равен половине диагонали:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

Нам дано, что \(R = 24\sqrt{2}\). Подставим это значение:

\[ 24\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

Теперь найдем сторону квадрата \(a\):

\[ a\sqrt{2} = 2 \times 24\sqrt{2} \]

\[ a\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \]

\[ a = 48 \]

Итак, сторона квадрата равна 48.

2. Связь радиуса вписанной окружности со стороной квадрата:

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:

\[ r = \frac{a}{2} \]

Подставим найденное значение стороны \(a = 48\):

\[ r = \frac{48}{2} \]

\[ r = 24 \]

Ответ: 24