16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 64√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус описанной окружности, а \( r \) — радиус вписанной окружности.
Пусть \( a \) — сторона квадрата.

Диагональ квадрата \( d \) равна диаметру описанной окружности:

\( d = 2R \)

Также, диагональ квадрата связана со стороной по теореме Пифагора: \( d = a\sqrt{2} \).

Из этого следует:

\( a\sqrt{2} = 2R \)

Найдём сторону квадрата \( a \):

\( a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} \)

Подставим данное значение \( R = 64\sqrt{2} \):

\( a = 64\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 64 \cdot 2 = 128 \)

Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине стороны квадрата:

\( r = \frac{a}{2} \)

Подставим найденное значение \( a \):

\( r = \frac{128}{2} = 64 \)

Ответ: 64