16. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен √2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Если радиус вписанной окружности равен \( r_{вп. \text{окр.}} = \sqrt{2} \), то диаметр этой окружности равен \( d_{вп. \text{окр.}} = 2r_{вп. \text{окр.}} = 2\sqrt{2} \).

Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, сторона квадрата \( a = 2\sqrt{2} \).

Радиус описанной окружности \( r_{опис. \text{окр.}} \) равен половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата \( d_{кв.} \) можно найти по теореме Пифагора: \( d_{кв.}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).

\( d_{кв.} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).

Подставим значение стороны \( a = 2\sqrt{2} \):

\( d_{кв.} = (2\sqrt{2}) × \sqrt{2} = 2 × 2 = 4 \).

Теперь найдём радиус описанной окружности:

\( r_{опис. \text{окр.}} = \frac{d_{кв.}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Ответ: 2.