16*. С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство: а) \((A\cup B)\cap(A\cap B)=(A\cap B)\); б) \((A\cap B)\cup(A\cap B)=A\cap B\); в) \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\); г) \(\overline{A\cap\overline{B}}=\overline A\cup B\); д) \(\overline{A\cup\overline B}=\overline A\cap B\).

В каждом равенстве обе части задают одну и ту же область диаграммы.

1. а) Так как A ∩ B содержится в A ∪ B, пересечение этих множеств равно меньшему множеству: (A ∪ B) ∩ (A ∩ B) = A ∩ B.
2. б) Объединение множества с самим собой не меняет его: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A ∩ B.
3. в) По диаграмме обе части включают весь круг A и общую область B и C. Следовательно, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
4. г) Область A ∩ B̄ — это часть A вне B. Её дополнение состоит из области вне A и области B: (A ∩ B̄)̄ = Ā ∪ B.
5. д) Дополнение объединения A и B̄ — это пересечение их дополнений: (A ∪ B̄)̄ = Ā ∩ B.

В пунктах г) и д) применены законы де Моргана; равные области на диаграммах следует заштриховать одинаково.