16. Сторона квадрата равна 36√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Связь квадрата и описанной окружности:

Диагональ квадрата является диаметром описанной вокруг него окружности.

1. Находим диагональ квадрата:



Диагональ квадрата (d) можно найти по теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + a^2\), где 'a' - сторона квадрата.




\[ d^2 = (36\sqrt{2})^2 + (36\sqrt{2})^2 \]




\[ d^2 = 2 \times (36\sqrt{2})^2 \]




\[ d^2 = 2 \times (36^2 \times (\sqrt{2})^2) \]




\[ d^2 = 2 \times (1296 \times 2) \]




\[ d^2 = 2 \times 2592 \]




\[ d^2 = 5184 \]




\[ d = \sqrt{5184} \]




Чтобы найти корень из 5184, можно заметить, что \(70^2 = 4900\) и \(80^2 = 6400\). Число заканчивается на 4, значит, последняя цифра корня 2 или 8. Пробуем 72:




\(72^2 = (70+2)^2 = 4900 + 2*70*2 + 4 = 4900 + 280 + 4 = 5184\).




Итак, d = 72.




Альтернативный способ найти диагональ:




Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на \(\sqrt{2}\):




\[ d = a\sqrt{2} \]




\[ d = (36\sqrt{2})\sqrt{2} \]




\[ d = 36 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \]




\[ d = 36 \times 2 \]




\[ d = 72 \]




2. Находим радиус окружности:



Диаметр окружности (D) равен диагонали квадрата (d): D = d = 72.




Радиус (r) окружности равен половине диаметра:




\[ r = \frac{D}{2} \]




\[ r = \frac{72}{2} \]




\[ r = 36 \]

Ответ: 36