16. Точка M — середина стороны AB треугольника ABC. Плоскость α проходит через точку M параллельно прямой AC и пересекает сторону BC в точке K. Докажите, что точка K — середина стороны BC. Найдите площадь четырёхугольника AMKC, если площадь треугольника ABC равна 28 см².

Так как точка M лежит в плоскости треугольника ABC, линия пересечения плоскости α с плоскостью ABC проходит через M. Эта линия параллельна AC, поскольку α параллельна прямой AC.

В треугольнике ABC прямая MK проходит через середину стороны AB и параллельна стороне AC. По теореме о средней линии треугольника она пересекает BC в её середине. Значит, K — середина BC.

Треугольники BMK и BAC подобны: их стороны пропорциональны с коэффициентом \(\frac{1}{2}\), поскольку BM — половина BA и BK — половина BC. Поэтому площадь BMK составляет \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\) площади ABC.

\(S_{BMK}=28\cdot\frac{1}{4}=7\text{ см}^2.\)

Четырёхугольник AMKC вместе с треугольником BMK составляет треугольник ABC, поэтому

\(S_{AMKC}=28-7=21\text{ см}^2.\)

Ответ: K — середина BC; площадь четырёхугольника AMKC равна 21 см².