16. Точка О является серединой CD стороны квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Краткая запись:

• О — середина CD
• Радиус окружности (R), проходящей через A: 5
• Найти: Площадь квадрата ABCD — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем положение точки О.
   Точка О — середина стороны CD квадрата ABCD. Это значит, что расстояние от О до D и от О до C равно половине стороны квадрата.
2. Шаг 2: Связываем радиус с длиной стороны.
   Радиус окружности равен 5 и проходит через вершину А. Следовательно, расстояние от точки О до точки А равно 5.
3. Шаг 3: Используем теорему Пифагора.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Сторона AD — это сторона квадрата, обозначим её как 'a'. OD — половина стороны квадрата, то есть \( \frac{a}{2} \). OA — это радиус, равный 5. По теореме Пифагора: \( AD^2 + OD^2 = OA^2 \)
   \( a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 5^2 \)
   \( a^2 + \frac{a^2}{4} = 25 \)
4. Шаг 4: Решаем уравнение для 'a'.
   Приводим к общему знаменателю:
   \( \frac{4a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = 25 \)
   \( \frac{5a^2}{4} = 25 \)
   Умножаем обе стороны на 4:
   \( 5a^2 = 100 \)
   Делим обе стороны на 5:
   \( a^2 = 20 \)
5. Шаг 5: Находим площадь квадрата.
   Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S = a^2 \). Из предыдущего шага мы уже нашли, что \( a^2 = 20 \).

Ответ: Площадь квадрата ABCD равна 20.