16. Точка О является серединой CD стороны квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 1,5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Точка О — середина стороны CD. Радиус окружности, проходящей через вершину A, равен OA = 1,5.

Рассмотрим треугольник OAD. Он прямоугольный, так как CD — сторона квадрата, а OA — радиус, соединяющий центр окружности с вершиной квадрата. Сторона квадрата AB = BC = CD = DA.

Так как O — середина CD, то OD = OC = \( \frac{1}{2} CD \).

В прямоугольном треугольнике OAD по теореме Пифагора:

\( OA^2 = OD^2 + AD^2 \)

Подставим известные значения:

\( 1.5^2 = (\frac{1}{2} CD)^2 + CD^2 \)

\( 2.25 = \frac{1}{4} CD^2 + CD^2 \)

\( 2.25 = \frac{5}{4} CD^2 \)

\( CD^2 = 2.25 \cdot \frac{4}{5} = \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \)

Площадь квадрата ABCD равна \( CD^2 \).

Ответ: 1.8.