16. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 7,5. Найдите АС, если BC = 12.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.

1. Поскольку центр окружности лежит на стороне AB, то AB является диаметром окружности.
2. Радиус окружности равен 7,5, значит, диаметр AB = \( 2 \cdot 7,5 = 15 \).
3. Так как центр окружности лежит на стороне AB, то треугольник ABC является прямоугольным, и угол C равен 90°.
4. Теперь найдём длину катета AC по теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
5. \( AC^2 + 12^2 = 15^2 \)
6. \( AC^2 + 144 = 225 \)
7. \( AC^2 = 225 - 144 = 81 \)
8. \( AC = \sqrt{81} = 9 \).

Ответ: 9.