16. Центральный угол опирается на хорду АВ длиной 15. При этом угол АОВ равен 60° (см. рис. ). Найдите радиус этой окружности.

Решение:

Центральный угол \( \angle AOB \) опирается на хорду \( AB \). Радиусы \( OA \) и \( OB \) равны радиусу окружности \( R \). Треугольник \( \triangle AOB \) является равнобедренным, так как \( OA = OB = R \).

Угол \( \angle AOB = 60^{\circ} \). Так как \( \triangle AOB \) равнобедренный, углы при основании \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \) равны.

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Поэтому:

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OAB + 60^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OAB = 180^{\circ} - 60^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OAB = 120^{\circ} \)

\( \angle OAB = 60^{\circ} \)

Так как все углы в \( \triangle AOB \) равны \( 60^{\circ} \), то \( \triangle AOB \) является равносторонним.

Следовательно, длина хорды \( AB \) равна радиусу окружности \( R \).

По условию, длина хорды \( AB = 15 \).

Значит, радиус окружности \( R = 15 \).

Ответ: 15.