16. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A: ∠B : ∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 14. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

1. Находим углы треугольника:
   Сумма углов треугольника равна 180°. Пусть углы равны x, 2x и 3x.
   x + 2x + 3x = 180°
   6x = 180°
   x = 30°
   Следовательно, ∠A = 30°, ∠B = 2⋅30° = 60°, ∠C = 3⋅30° = 90°.
2. Находим углы, образованные биссектрисой:
   Биссектриса ВМ делит угол ∠B пополам.
   ∠ABM = ∠MBC = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°.
3. Анализируем треугольник BCM:
   Углы этого треугольника:
   ∠MBC = 30°
   ∠C = 90°
   Сумма углов треугольника: ∠BMC + ∠MBC + ∠C = 180°
   ∠BMC + 30° + 90° = 180°
   ∠BMC + 120° = 180°
   ∠BMC = 60°.
4. Находим длину МС:
   В треугольнике BCM мы знаем, что ∠C = 90°, ∠MBC = 30°, ∠BMC = 60°. Это прямоугольный треугольник.
   Нам дана длина биссектрисы BM = 14.
5. Используем теорему синусов в треугольнике BCM:
   \[ \frac{MC}{\sin(∠MBC)} = \frac{BM}{\sin(∠C)} \]
   \[ \frac{MC}{\sin(30°)} = \frac{14}{\sin(90°)} \]
   \[ \frac{MC}{1/2} = \frac{14}{1} \]
   MC = 14 * (1/2)
   MC = 7.

Ответ: 7