16. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн руб. Условия возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года. — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга. — в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн руб. — суммы выплат 2020 и 2021 годов равны. Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1 млн руб.

Решение:

Пусть \( S \) — сумма кредита, \( S = 4,2 \) млн руб. Пусть \( x = 1 + \frac{r}{100} \) — коэффициент роста долга.

Условие, что в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн руб, означает, что выплаты в период с февраля по июнь каждого года полностью погашали начисленные за январь проценты.

Далее, нам известно, что суммы выплат 2020 и 2021 годов равны. Обозначим эту сумму как \( Y \). Общие выплаты составят 6,1 млн руб.

Запишем долговую нагрузку по годам:

1. Июль 2016: Долг \( S = 4,2 \) млн руб.
2. Январь 2017: Долг \( S · x \)
3. Февраль-июнь 2017: Выплата \( Y_1 \)
4. Июль 2017: Долг \( S \) (по условию). Это значит, что \( S · x - Y_1 = S \), откуда \( Y_1 = S(x - 1) \).
5. Январь 2018: Долг \( S · x \)
6. Февраль-июнь 2018: Выплата \( Y_2 \)
7. Июль 2018: Долг \( S \). Значит, \( S · x - Y_2 = S \), откуда \( Y_2 = S(x - 1) \).
8. Январь 2019: Долг \( S · x \)
9. Февраль-июнь 2019: Выплата \( Y_3 \)
10. Июль 2019: Долг \( S \). Значит, \( S · x - Y_3 = S \), откуда \( Y_3 = S(x - 1) \).
11. Январь 2020: Долг \( S · x \)
12. Февраль-июнь 2020: Выплата \( Y_4 \).
13. Июль 2020: Долг \( S · x - Y_4 \).
14. Январь 2021: Долг \( (S · x - Y_4) · x \)
15. Февраль-июнь 2021: Выплата \( Y_5 \).
16. Июль 2021: Долг 0. Значит, \( (S · x - Y_4) · x - Y_5 = 0 \).

По условию, \( Y_4 = Y_5 \) (суммы выплат 2020 и 2021 годов равны).

Из условия \( S · x - Y_1 = S \), \( S · x - Y_2 = S \), \( S · x - Y_3 = S \) следует, что \( Y_1 = Y_2 = Y_3 = S(x-1) \).

Так как долг в 2021 году выплачен полностью, то общие выплаты равны сумме кредита плюс проценты. Общие выплаты = \( Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4 + Y_5 \) = 6,1 млн руб.

Из \( (S · x - Y_4) · x - Y_5 = 0 \) получаем \( S · x^2 - Y_4 · x - Y_5 = 0 \).
Так как \( Y_4 = Y_5 = Y \), то \( S · x^2 - Y · x - Y = 0 \).

Общие выплаты = \( 3Y + 2Y \) = 5Y = 6,1 млн руб.
Следовательно, \( Y = \frac{6,1}{5} = 1,22 \) млн руб.

Теперь выразим \( Y_4 \) и \( Y_5 \) через \( S \) и \( x \):

\( Y_4 = S · x - S_{2020} \), где \( S_{2020} \) — долг в июле 2020.

\( Y_5 = S_{2021 \text{_initial}} - S_{2021 \text{_final}} \), где \( S_{2021 \text{_initial}} \) — долг в январе 2021, \( S_{2021 \text{_final}} = 0 \).

\( S_{2021 \text{_initial}} = (S · x - Y_4) · x \).

\( Y_5 = (S · x - Y_4) · x \).

Так как \( Y_4 = Y_5 \), то \( Y_4 = (S · x - Y_4) · x \).

\( Y_4 = S · x^2 - Y_4 · x \).

\( Y_4(1 + x) = S · x^2 \).

\( Y_4 = \frac{S · x^2}{1 + x} \).

Мы знаем, что \( Y_4 = 1,22 \) млн руб, \( S = 4,2 \) млн руб.

\( 1,22 = \frac{4,2 · x^2}{1 + x} \).

\( 1,22(1 + x) = 4,2 x^2 \).

\( 1,22 + 1,22x = 4,2 x^2 \).

\( 4,2 x^2 - 1,22x - 1,22 = 0 \).

Умножим на 100: \( 420 x^2 - 122x - 122 = 0 \).

Разделим на 2: \( 210 x^2 - 61x - 61 = 0 \).

Решим квадратное уравнение для \( x \):

\[ x = \frac{-b ± √{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{61 ± √{(-61)^2 - 4 · 210 · (-61)}}{2 · 210} \]

\[ x = \frac{61 ± √{3721 + 51660}}{420} = \frac{61 ± √{55381}}{420} \]

\[ x = \frac{61 ± 235.33}{420} \]

Так как \( x = 1 + \frac{r}{100} \) и \( r > 0 \), то \( x > 1 \). Выбираем положительный корень:

\[ x = \frac{61 + 235.33}{420} = \frac{296.33}{420} ≈ 0.7055 \]

Это неверно, так как \( x \) должно быть больше 1. Пересчитаем.

Альтернативный подход:

Общая сумма выплат = S + Проценты.

6,1 = 4,2 + Проценты.

Проценты = 6,1 - 4,2 = 1,9 млн руб.

Выплаты в 2017, 2018, 2019 годах равны \( S(x-1) \).
Общая сумма этих выплат = \( 3S(x-1) \).

Пусть \( S_0 = 4,2 \).

Январь 2017: \( S_0 · x \). Выплата \( Y_1 = S_0(x-1) \). Долг = \( S_0 \).

Январь 2018: \( S_0 · x \). Выплата \( Y_2 = S_0(x-1) \). Долг = \( S_0 \).

Январь 2019: \( S_0 · x \). Выплата \( Y_3 = S_0(x-1) \). Долг = \( S_0 \).

Январь 2020: \( S_0 · x \). Выплата \( Y_4 \). Долг = \( S_0 · x - Y_4 \).

Январь 2021: \( (S_0 · x - Y_4) · x \). Выплата \( Y_5 \). Долг = 0.

\( Y_4 = Y_5 = Y \).

\( (S_0 · x - Y) · x = Y \).

\( S_0 · x^2 - Y · x = Y \).

\( S_0 · x^2 = Y(1+x) \).

\( Y = \frac{S_0 · x^2}{1+x} \).

Общая сумма выплат = \( 3Y + Y_4 + Y_5 = 3Y + 2Y = 5Y \) = 6,1 млн руб.

\( Y = \frac{6,1}{5} = 1,22 \) млн руб.

\( 1,22 = \frac{4,2 · x^2}{1+x} \).

\( 1,22(1+x) = 4,2 x^2 \).

\( 1,22 + 1,22x = 4,2 x^2 \).

\( 4,2 x^2 - 1,22x - 1,22 = 0 \).

\( 210 x^2 - 61x - 61 = 0 \).

\( x = \frac{61 ± √{61^2 - 4(210)(-61)}}{2(210)} = \frac{61 ± √{3721 + 51660}}{420} = \frac{61 ± √{55381}}{420} \).

√{55381} ≈ 235.33

\( x = \frac{61 + 235.33}{420} = \frac{296.33}{420} ≈ 0.7055 \) (Неверно, т.к. x > 1)

Есть ошибка в исходных рассуждениях. Вернемся к условию: «в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн руб.»

Это значит, что каждая выплата с февраля по июнь этих годов погашала только начисленные за январь проценты.

Пусть \( S = 4,2 \) млн руб.

Январь 2017: долг \( S · x \). Выплата \( Y_1 \). Долг в июле \( S · x - Y_1 = S \) → \( Y_1 = S(x-1) \).

Январь 2018: долг \( S · x \). Выплата \( Y_2 \). Долг в июле \( S · x - Y_2 = S \) → \( Y_2 = S(x-1) \).

Январь 2019: долг \( S · x \). Выплата \( Y_3 \). Долг в июле \( S · x - Y_3 = S \) → \( Y_3 = S(x-1) \).

Январь 2020: долг \( S · x \). Выплата \( Y_4 \). Долг в июле \( S' = S · x - Y_4 \).

Январь 2021: долг \( S' · x \). Выплата \( Y_5 \). Долг в июле \( S' · x - Y_5 = 0 \).

По условию \( Y_4 = Y_5 = Y \).

Общая сумма выплат = \( Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4 + Y_5 = 3S(x-1) + 2Y \) = 6,1 млн руб.

Из \( S' · x = Y_5 = Y \) следует \( S' = \frac{Y}{x} \).

Подставляем \( S' \) в \( S' = S · x - Y_4 \):

\( \frac{Y}{x} = S · x - Y \).

\( Y = S · x^2 - Y · x \).

\( Y(1+x) = S · x^2 \).

\( Y = \frac{S · x^2}{1+x} \).

Теперь подставим это в уравнение общей суммы выплат:

\( 3S(x-1) + 2 \frac{S · x^2}{1+x} = 6,1 \).

\( 3 · 4,2 (x-1) + 2 \frac{4,2 · x^2}{1+x} = 6,1 \).

\( 12,6(x-1) + \frac{8,4 x^2}{1+x} = 6,1 \).

\( 12,6(x-1)(1+x) + 8,4 x^2 = 6,1 (1+x) \).

\( 12,6(x^2 - 1) + 8,4 x^2 = 6,1 + 6,1x \).

\( 12,6 x^2 - 12,6 + 8,4 x^2 = 6,1 + 6,1x \).

\( 21 x^2 - 6,1x - 18,7 = 0 \).

Умножим на 10: \( 210 x^2 - 61x - 187 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение для \( x \):

\[ x = \frac{61 ± √{(-61)^2 - 4(210)(-187)}}{2(210)} = \frac{61 ± √{3721 + 157080}}{420} = \frac{61 ± √{160801}}{420} \]

√{160801} = 401

\[ x = \frac{61 ± 401}{420} \]

Так как \( x > 1 \), берем положительный корень:

\[ x = \frac{61 + 401}{420} = \frac{462}{420} = \frac{77}{70} = 1,1 \].

Теперь найдем \( r \):

\( x = 1 + \frac{r}{100} \).

\( 1,1 = 1 + \frac{r}{100} \).

\( 0,1 = \frac{r}{100} \).

\( r = 0,1 · 100 = 10 \).

Проверим выплаты:

\( Y_1 = Y_2 = Y_3 = 4,2 (1,1 - 1) = 4,2 · 0,1 = 0,42 \) млн руб.

\( Y = \frac{4,2 · (1,1)^2}{1+1,1} = \frac{4,2 · 1,21}{2,1} = 2 · 1,21 = 2,42 \) млн руб.

\( Y_4 = Y_5 = 2,42 \) млн руб.

Общая сумма выплат = \( 3 · 0,42 + 2 · 2,42 = 1,26 + 4,84 = 6,1 \) млн руб. Это соответствует условию.

Ответ: r = 10%.