16. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла ОАВ.

Решение:

Рассмотрим треугольник OCD. Так как OC и OD — радиусы одной окружности, то треугольник OCD — равнобедренный.

Угол ODC = Угол OCD = 30°.

Угол COB — центральный угол, опирающийся на дугу CB. Угол CAD — вписанный, опирающийся на ту же дугу CB.

Угол COD = 180° - (угол ODC + угол OCD) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

Угол COB = Угол COD = 120° (как вертикальные углы).

Рассмотрим треугольник OAB. OA и OB — радиусы одной окружности, поэтому треугольник OAB — равнобедренный.

Угол OAB = Угол OBA.

Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол ACB — вписанный, опирающийся на ту же дугу AB.

Угол AOB = 180° - Угол COB = 180° - 120° = 60°.

В равнобедренном треугольнике OAB, если угол при вершине равен 60°, то он является равносторонним. Следовательно, все углы равны 60°.

Угол OAB = 60°.

Ответ: 60°.