16. В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°. а) Докажите, что угол ABC равен 120°. б) Найдите BH, если AB = 7 и BC = 8.

а) Так как AH перпендикулярна BC, а CH перпендикулярна AB, угол между прямыми AH и CH равен углу между прямыми BC и AB либо его дополнительному углу. Поскольку угол ABC тупой, а угол AHC равен 60°, получаем:

∠ABC = 180° − ∠AHC = 180° − 60° = 120°.

б) Проведём координатное решение: поместим B в начало координат, а BA направим вдоль оси x. Тогда A = (7, 0), а, поскольку BC = 8 и ∠ABC = 120°, C = (−4, 4√3).

Высота из C перпендикулярна AB, поэтому она имеет уравнение x = −4. Прямая BC имеет наклон −√3, следовательно, высота из A имеет наклон 1/√3 и уравнение y = (x − 7)/√3. Их пересечение — H = (−4, −11/√3).

Тогда BH = √((-4)² + (−11/√3)²) = √(16 + 121/3) = √(169/3) = 13/√3 = 13√3/3.

Ответ: а) ∠ABC = 120°; б) BH = 13√3/3.