16. В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB=18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для нахождения радиуса описанной окружности используем теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Где \( c \) — сторона, противолежащая углу \( C \) (в нашем случае это AB), \( R \) — радиус описанной окружности.

Подставляем известные значения:

\[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \]\[ \frac{18\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ}} = 2R \]

Найдём значение \( \sin 120^{\circ} \):

\[ \sin 120^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставляем это значение в уравнение:

\[ \frac{18\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]

Упрощаем:

\[ 18\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R \]\[ 18 \cdot 2 = 2R \]\[ 36 = 2R \]

Находим радиус \( R \):

\[ R = \frac{36}{2} = 18 \]

Ответ: 18