16. В угол С величиной 112° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О – центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Окружность вписана в угол С и касается его сторон в точках А и В. Центр окружности – точка О.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: \( CA = CB \).

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: \( OA \perp CA \) и \( OB \perp CB \).

Таким образом, углы \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник АСВО. Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle C + \angle OAC + \angle ACB + \angle AOB = 360^{\circ} \)

\( 112^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \)

\( 292^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 292^{\circ} \)

\( \angle AOB = 68^{\circ} \)

Ответ: 68