16. В угол С величиной 121° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О – центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 16. Угол АОВ

Дано:

• Угол \( ∠ C = 121^\circ \).
• Окружность вписана в угол и касается сторон в точках \( A \) и \( B \).
• \( O \) – центр окружности.

Найти: Угол \( ∠ AOB \).

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( AOBС \). Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \).

Так как окружность вписана в угол и касается его сторон в точках \( A \) и \( B \), то отрезки \( OA \) и \( OB \) являются радиусами, а отрезки \( CA \) и \( CB \) — касательными. Радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательной. Следовательно, \( ∠ OAC = 90^\circ \) и \( ∠ OBC = 90^\circ \).

Сумма углов четырёхугольника \( AOBС \):

\[ ∠ C + ∠ OAC + ∠ OBC + ∠ AOB = 360^\circ \]

Подставим известные значения:

\[ 121^\circ + 90^\circ + 90^\circ + ∠ AOB = 360^\circ \]

\[ 301^\circ + ∠ AOB = 360^\circ \]

Найдем \( ∠ AOB \):

\[ ∠ AOB = 360^\circ - 301^\circ = 59^\circ \]

Ответ: Угол АОВ равен 59 градусов.