16. В угол С величиной 72° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник AOBС. Так как окружность вписана в угол C и касается сторон в точках A и B, то OA и OB являются радиусами, перпендикулярными сторонам угла в точках касания. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

\( \angle C + \angle OAC + \angle AOB + \angle OBC = 360^{\circ} \)

\( 72^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 252^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 252^{\circ} \)

\( \angle AOB = 108^{\circ} \)

Ответ: 108°.