Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 16. Радиус окружности треугольника
Вершины треугольника делят описанную окружность на три дуги, длины которых относятся как 3 : 7 : 8. Пусть длины дуг равны \( 3x, 7x, 8x \).
Общая длина окружности равна сумме длин этих дуг: \( L = 3x + 7x + 8x = 18x \).
Вспомним, что центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Длины дуг пропорциональны центральным углам, опирающимся на них.
Пусть центральные углы, соответствующие дугам, равны \( 3\alpha, 7\alpha, 8\alpha \). Сумма центральных углов равна 360°.
\( 3\alpha + 7\alpha + 8\alpha = 360^\circ \)
\( 18\alpha = 360^\circ \)
\( \alpha = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ \).
Таким образом, центральные углы равны:
- \( 3\alpha = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ \)
- \( 7\alpha = 7 \cdot 20^\circ = 140^\circ \)
- \( 8\alpha = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ \)
Центральный угол, опирающийся на дугу, в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Углы треугольника равны половинам соответствующих центральных углов:
- Угол, опирающийся на дугу \( 3x \) (центральный угол 60°): \( \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \)
- Угол, опирающийся на дугу \( 7x \) (центральный угол 140°): \( \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \)
- Угол, опирающийся на дугу \( 8x \) (центральный угол 160°): \( \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \)
Сторона, лежащая напротив угла 30°, равна 25. Пусть эта сторона — \( a = 25 \).
По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность:
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)
где \( R \) — радиус описанной окружности.
У нас \( a = 25 \) и угол \( A = 30^\circ \).
\( \frac{25}{\sin 30^\circ} = 2R \)
Так как \( \sin 30^\circ = 0,5 = \frac{1}{2} \), то:
\( \frac{25}{0,5} = 2R \)
\( 50 = 2R \)
\( R = \frac{50}{2} = 25 \).
Ответ: Радиус окружности равен 25.
