16. Вычислите степени через треугольник Паскаля для следующих чисел: 1) $2^{12}$; 2) $2^{14}$; 3) $2^{18}$; 4) $2^{20}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 16. Вычислите степени через треугольник Паскаля для следующих чисел: 1) $2^{12}$; 2) $2^{14}$; 3) $2^{18}$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

По формуле бинома Ньютона $2^n=(1+1)^n$, поэтому значение степени равно сумме коэффициентов строки треугольника Паскаля с номером $n$.

Строка для $n=12$: $1, 12, 66, 220, 495, 792, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1$. Сумма коэффициентов равна $4096$, значит $2^{12}=4096$.
Строка для $n=14$: $1, 14, 91, 364, 1001, 2002, 3003, 3432, 3003, 2002, 1001, 364, 91, 14, 1$. Сумма коэффициентов равна $16384$, значит $2^{14}=16384$.
Строка для $n=18$: $1, 18, 153, 816, 3060, 8568, 18564, 31824, 43758, 48620, 43758, 31824, 18564, 8568, 3060, 816, 153, 18, 1$. Сумма коэффициентов равна $262144$, значит $2^{18}=262144$.
Строка для $n=20$: $1, 20, 190, 1140, 4845, 15504, 38760, 77520, 125970, 167960, 184756, 167960, 125970, 77520, 38760, 15504, 4845, 1140, 190, 20, 1$. Сумма коэффициентов равна $1048576$, значит $2^{20}=1048576$.

Ответ: 1) 4096; 2) 16384; 3) 262144; 4) 1048576.

16. Вычислите степени через треугольник Паскаля для следующих чисел: 1) \(2^{12}\); 2) \(2^{14}\); 3) \(2^{18}\); 4) \(2^{20}\).