16. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: 1) b₁ = 40, b₂ = −20; 2) b₇ = 12, b₁₁ = 3/4; 3) b₇ = −30, b₆ = 15; 4) b₅ = 9, b₁₀ = −1/27.

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии необходимо, чтобы выполнялось условие: \(0<q<1\).

1. \(q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{-20}{40}=-\dfrac12\). Так как знаменатель отрицательный, прогрессия не является бесконечно убывающей.

2. \(b_{11}=b_7q^4\), поэтому \(\dfrac34=12q^4\), откуда \(q^4=\dfrac1{16}\). Следовательно, \(q=\pm\dfrac12\). При \(q=\dfrac12\) прогрессия бесконечно убывающая, а при \(q=-\dfrac12\) — нет. По данным условия знак знаменателя однозначно определить невозможно.

3. \(b_7=b_6q\), поэтому \(q=\dfrac{b_7}{b_6}=\dfrac{-30}{15}=-2\). Так как \(q<0\), прогрессия не является бесконечно убывающей.

4. \(b_{10}=b_5q^5\), поэтому \(-\dfrac1{27}=9q^5\), откуда \(q^5=-\dfrac1{243}=-\dfrac1{3^5}\). Следовательно, \(q=-\dfrac13\). Знаменатель отрицательный, поэтому прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: 1) нет; 2) возможно только при \(q=\frac12\), но по условию есть два варианта \(q=\pm\frac12\); 3) нет; 4) нет.