16. За один час пользования платной трассой для велосипедистов на набережной взимается плата 360 рублей. Сергей прибыл к началу трассы раньше Антона. Когда Сергей уже проехал 2 км, к началу трассы подъехал Антон и начал двигаться вслед за Сергеем со скоростью, которая на 4 км/час больше скорости Сергея. В тот момент, когда Антон догнал Сергея, они развернулись, поехали к началу трассы со скоростью 9 км/час и завершили прогулку. Найдите наименьшую сумму в рублях, которой будет достаточно Сергею чтобы оплатить такую прогулку.

Краткая запись:

• Стоимость аренды трассы: 360 рублей/час
• Сергей проехал 2 км.
• Скорость Антона = Скорость Сергея + 4 км/ч
• Когда Антон догнал Сергея, они развернулись и поехали обратно со скоростью 9 км/ч.
• Найти: Минимальную сумму для оплаты прогулки Сергеем.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем скорость Сергея.
   Пусть скорость Сергея будет $$v$$ км/ч. Тогда скорость Антона будет $$v+4$$ км/ч.
   Сергей проехал 2 км. Время, которое он на это потратил: $$t_1 = \frac{2}{v}$$ часа.
   Антон выехал позже. Когда Антон догнал Сергея, они находились на одном расстоянии от начала трассы. Пусть это расстояние будет $$S$$ км.
   Время, за которое Сергей проехал $$S$$ км: $$t_c = \frac{S}{v}$$ часа.
   Время, за которое Антон проехал $$S$$ км: $$t_a = \frac{S}{v+4}$$ часа.
   По условию, Антон начал двигаться вслед за Сергеем, когда тот проехал 2 км. Это значит, что время движения Антона меньше времени движения Сергея на время, которое Сергей потратил на первые 2 км. То есть: $$t_a = t_c - \frac{2}{v}$$.
   Подставляем: $$\frac{S}{v+4} = \frac{S}{v} - \frac{2}{v}$$.
   $$\frac{S}{v+4} = \frac{S-2}{v}$$.
   $$Sv = (S-2)(v+4)$$.
   $$Sv = Sv + 4S - 2v - 8$$.
   $$0 = 4S - 2v - 8$$.
   $$2v = 4S - 8$$.
   $$v = 2S - 4$$.
2. Шаг 2: Определяем время, когда Антон догнал Сергея.
   Антон догнал Сергея, когда они ехали в одном направлении. Пусть момент, когда Антон догнал Сергея, будет $$T$$. В этот момент они находились на расстоянии $$S$$ от начала. Скорость, с которой они ехали обратно, равна 9 км/ч. Это означает, что скорость, с которой они двигались навстречу друг другу, составляла 9 км/ч. Это не соответствует условию, что они ехали в одном направлении. Вероятно, 9 км/ч — это скорость, с которой они поехали обратно к началу трассы. Следовательно, момент, когда Антон догнал Сергея, происходит тогда, когда они ехали в одном направлении. Скорость сближения Антона с Сергеем равна скорости Антона минус скорость Сергея: $$(v+4) - v = 4$$ км/ч. За 2 км, которые проехал Сергей, Антон еще не выехал. Когда Антон выехал, Сергей уже проехал 2 км. Антон сокращает это расстояние со скоростью 4 км/ч. Время, за которое Антон догонит Сергея: $$t_{догнала} = \frac{2 ext{ км}}{4 ext{ км/ч}} = 0.5$$ часа.
3. Шаг 3: Рассчитываем скорости и расстояния.
   Если $$t_{догнала} = 0.5$$ часа, то $$v = 2S - 4$$.
   За 0.5 часа Антон проехал $$S$$ км со скоростью $$v+4$$: $$S = (v+4) imes 0.5$$.
   Подставляем $$v = 2S - 4$$: $$S = (2S - 4 + 4) imes 0.5 = 2S imes 0.5 = S$$. Это не помогает определить $$S$$ или $$v$$.
   Давайте переформулируем: Скорость Антона = $$v_a$$, скорость Сергея = $$v_c$$. $$v_a = v_c + 4$$.
   Когда Антон догнал Сергея, они были на одном расстоянии от начала. Сергей проехал 2 км. Антон начал двигаться вслед. Разница в расстоянии, которое им нужно преодолеть, чтобы встретиться, равна 2 км. Скорость сближения = $$v_a - v_c = 4$$ км/ч. Время, чтобы догнать = $$\frac{2 ext{ км}}{4 ext{ км/ч}} = 0.5$$ часа.
   За это время Сергей проехал: $$2 ext{ км} + v_c imes 0.5$$.
   За это время Антон проехал: $$v_a imes 0.5 = (v_c + 4) imes 0.5$$.
   Итак, $$2 + 0.5v_c = 0.5(v_c + 4)$$.
   $$2 + 0.5v_c = 0.5v_c + 2$$. Это тоже не дает конкретных значений.
   Переосмыслим условие: «В тот момент, когда Антон догнал Сергея, они развернулись, поехали к началу трассы со скоростью 9 км/час». Это означает, что в момент встречи, их скорость была $$v+4$$ (скорость Антона) или $$v$$ (скорость Сергея), а затем они переключились на 9 км/ч. Скорость 9 км/ч — это скорость возвращения.
4. Шаг 3 (альтернативный): Расчет времени возвращения
   Антон догнал Сергея через 0.5 часа после того, как выехал Антон. За это время Сергей проехал $$2 + v_c imes 0.5$$ км.
   И Антон проехал $$v_a imes 0.5 = (v_c+4) imes 0.5$$ км.
   Расстояние, которое они проехали от начала трассы до момента встречи: $$S = v_a imes 0.5 = (v_c+4) imes 0.5$$.
   Время, которое Сергей провел на трассе до момента встречи: $$t_{Сергея} = \frac{2}{v_c} + 0.5$$ часа.
   Время, которое Антон провел на трассе до момента встречи: $$t_{Антона} = 0.5$$ часа.
   После встречи они развернулись и поехали к началу трассы со скоростью 9 км/ч. Расстояние до начала трассы равно $$S$$.
   Время возвращения к началу трассы для обоих: $$t_{возврата} = \frac{S}{9}$$ часа.
5. Шаг 4: Определение скоростей и времени.
   Из $$S = (v_c+4) imes 0.5$$ и $$S = v_c imes t_{Сергея}$$ (общее расстояние, которое проехал Сергей) + 2 км, мы можем найти $$v_c$$.
   Но лучше использовать $$v = 2S - 4$$.
   И $$S = 0.5(v+4)$$.
   Подставим $$v$$ из первого уравнения во второе: $$S = 0.5( (2S-4) + 4 ) = 0.5(2S) = S$$. Это тождество, значит, мы должны использовать другую логику.
6. Шаг 5: Анализ времени в пути.
   Пусть $$v$$ — скорость Сергея. Скорость Антона — $$v+4$$.
   Сергей проехал 2 км. Время $$t_1 = 2/v$$.
   Антон выезжает. Через время $$t$$ Антон догоняет Сергея. Расстояние, пройденное Сергеем за это время: $$2 + vt$$. Расстояние, пройденное Антоном: $$(v+4)t$$.
   Когда Антон догнал Сергея: $$2 + vt = (v+4)t$$.
   $$2 + vt = vt + 4t$$.
   $$2 = 4t$$, значит $$t = 0.5$$ часа. Это время, которое Антон был в пути до момента встречи.
   За это время Сергей проехал: $$2 + v imes 0.5$$ км. Это расстояние от начала до точки встречи.
   Общее время Сергея на трассе до момента встречи: $$t_{Сергея} = \frac{2}{v} + 0.5$$ часа.
7. Шаг 6: Расчет времени возвращения.
   Расстояние до точки встречи: $$S = (v+4) imes 0.5$$.
   Они развернулись и поехали к началу трассы со скоростью 9 км/ч. Время возвращения: $$t_{возврата} = \frac{S}{9} = \frac{(v+4) imes 0.5}{9} = \frac{v+4}{18}$$ часа.
8. Шаг 7: Определение общего времени на трассе.
   Общее время Сергея на трассе: $$T_{Сергея} = t_{Сергея} + t_{возврата} = (\frac{2}{v} + 0.5) + \frac{v+4}{18}$$ часа.
   Общее время Антона на трассе: $$T_{Антона} = t + t_{возврата} = 0.5 + \frac{v+4}{18}$$ часа.
9. Шаг 8: Определение скоростей.
   Мы знаем, что Сергей проехал 2 км, а затем Антон его догнал. Скорость Антона была на 4 км/ч больше. После этого они поехали обратно со скоростью 9 км/ч. Условие «на 4 км/час больше скорости Сергея» и «со скоростью 9 км/час» — это две разные скорости. В условии задачи нет явной информации, чтобы определить скорость $$v$$. Однако, если предположить, что скорость 9 км/ч — это скорость, с которой они возвращались, то надо найти $$v$$.
   В задаче говорится: «В тот момент, когда Антон догнал Сергея, они развернулись, поехали к началу трассы со скоростью 9 км/час». Это значит, что скорость 9 км/ч — это скорость возвращения. До момента встречи они ехали в одном направлении. Скорость Антона = $$v_c+4$$, скорость Сергея = $$v_c$$.
10. Шаг 9: Рассчитываем время, которое они провели на трассе.
    Мы определили, что Антон догнал Сергея за 0.5 часа после выезда Антона. То есть, время Антона до встречи — 0.5 часа.
    Расстояние, которое проехал Антон до встречи: $$S_{встречи} = (v_c+4) imes 0.5$$.
    Время Сергея до встречи: $$t_{Сергея} = 2/v_c + 0.5$$.
    Время, которое они провели, возвращаясь: $$t_{возврата} = S_{встречи} / 9 = (v_c+4) imes 0.5 / 9 = (v_c+4) / 18$$.
    Общее время Сергея: $$T_{Сергея} = (2/v_c + 0.5) + (v_c+4)/18$$.
    Общее время Антона: $$T_{Антона} = 0.5 + (v_c+4)/18$$.
    Ключевая проблема: мы не знаем $$v_c$$.
11. Шаг 10: Пересмотр условий.
    Возможно, есть скрытая связь между скоростями. «Скорость, которая на 4 км/час больше скорости Сергея» и «скоростью 9 км/час». Если предположить, что 9 км/ч — это скорость Антона, то $$v_c = 5$$ км/ч. Если 9 км/ч — это скорость Сергея, то $$v_a = 13$$ км/ч.
    Рассмотрим вариант, что 9 км/ч — это средняя скорость возвращения.
    Если $$v_c = 5$$ км/ч, тогда $$v_a = 9$$ км/ч.
    Сергей проехал 2 км. Время: $$2/5 = 0.4$$ часа.
    Антон выехал. Через $$t$$ часов Антон догнал Сергея. $$2 + 5t = 9t$$. $$2 = 4t$$, $$t = 0.5$$ часа. Это совпадает с предыдущим расчетом.
    Тогда $$S_{встречи} = 9 imes 0.5 = 4.5$$ км.
    Время возвращения: $$4.5 / 9 = 0.5$$ часа.
    Общее время Сергея: $$0.4 + 0.5 + 0.5 = 1.4$$ часа.
    Общее время Антона: $$0.5 + 0.5 = 1$$ час.
12. Шаг 11: Расчет оплаты.
    Стоимость аренды: 360 рублей/час.
    Сергей: $$1.4 ext{ часа} imes 360 ext{ руб/час} = 504$$ рубля.
    Антон: $$1 ext{ час} imes 360 ext{ руб/час} = 360$$ рублей.
    Общая сумма: $$504 + 360 = 864$$ рубля.
    Проверка: Наименьшая сумма. Если мы возьмем другие скорости, например, $$v_c = 10$$ км/ч, $$v_a = 14$$ км/ч.
    Время Сергея до встречи: $$2/10 + 0.5 = 0.2 + 0.5 = 0.7$$ часа.
    Расстояние встречи: $$14 imes 0.5 = 7$$ км.
    Время возвращения: $$7 / 9 ext{ часа} ext{ (приблизительно } 0.778 ext{ часа})$$.
    Общее время Сергея: $$0.7 + 7/9 = 6.3/9 + 7/9 = 13.3/9 ext{ часа}$$ (приблизительно $$1.478$$ часа).
    Стоимость для Сергея: $$(13.3/9) imes 360 = 13.3 imes 40 = 532$$ рубля.
    Общее время Антона: $$0.5 + 7/9 = 4.5/9 + 7/9 = 11.5/9$$ часа (приблизительно $$1.278$$ часа).
    Стоимость для Антона: $$(11.5/9) imes 360 = 11.5 imes 40 = 460$$ рублей.
    Общая сумма: $$532 + 460 = 992$$ рубля.
13. Шаг 12: Определение наименьшей суммы.
    Условие «со скоростью 9 км/час» относится к моменту разворота. Скорость Антона была $$v+4$$. Скорость Сергея $$v$$.
    Если мы предположим, что $$v+4 = 9$$ км/ч, то $$v = 5$$ км/ч. Это вариант, который мы уже рассмотрели и получили 864 рубля.
14. Шаг 13: Финальный расчет.
    Скорость Сергея: $$v$$ км/ч.
    Скорость Антона: $$v+4$$ км/ч.
    Антон догнал Сергея за 0.5 часа.
    Расстояние встречи: $$S = (v+4) imes 0.5$$ км.
    Время возвращения: $$t_{возврата} = S/9 = (v+4) imes 0.5 / 9 = (v+4)/18$$ часа.
    Общее время Сергея: $$T_{Сергея} = 2/v + 0.5 + (v+4)/18$$.
    Общее время Антона: $$T_{Антона} = 0.5 + (v+4)/18$$.
    Стоимость для Сергея: $$360 imes T_{Сергея} = 360 imes (2/v + 0.5 + (v+4)/18)$$.
    Стоимость для Антона: $$360 imes T_{Антона} = 360 imes (0.5 + (v+4)/18)$$.
    Сумма: $$360 imes (2/v + 0.5 + (v+4)/18 + 0.5 + (v+4)/18) = 360 imes (2/v + 1 + 2(v+4)/18) = 360 imes (2/v + 1 + (v+4)/9)$$.
    Чтобы найти наименьшую сумму, нам нужно минимизировать $$2/v + 1 + (v+4)/9$$.
    Если $$v=5$$, то $$2/5 + 1 + (5+4)/9 = 0.4 + 1 + 9/9 = 0.4 + 1 + 1 = 2.4$$ часа. Общая сумма: $$360 imes 2.4 = 864$$ рубля.
15. Шаг 14: Проверка условия