16. Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано?

Дано:

• Трехзначное число $$N$$.
• $$N$$ делится на 13.
• Последняя цифра $$N$$ в 4 раза меньше первой.
• Из $$N$$ вычли число $$N_{rev}$$ (цифры в обратном порядке).
• $$N - N_{rev} < 400$$.

Найти: $$N$$.

Решение:

Пусть трехзначное число $$N$$ имеет вид $$abc$$, где $$a$$ — первая цифра, $$b$$ — вторая, $$c$$ — третья.

Тогда $$N = 100a + 10b + c$$.

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, $$N_{rev} = 100c + 10b + a$$.

Условия:

1. $$N$$ делится на 13.
2. $$c = a / 4$$. Так как $$c$$ — цифра, то $$a$$ должно быть кратно 4. Возможные значения $$a$$: 4, 8.
• Если $$a=4$$, то $$c=4/4=1$$.
• Если $$a=8$$, то $$c=8/4=2$$.
3. $$N - N_{rev} < 400$$.

Рассмотрим случай 1: $$a=4, c=1$$.

Число $$N$$ имеет вид $$4b1$$.

$$N = 100 \times 4 + 10b + 1 = 401 + 10b$$.

$$N_{rev} = 100 \times 1 + 10b + 4 = 104 + 10b$$.

$$N - N_{rev} = (401 + 10b) - (104 + 10b) = 401 - 104 = 297$$.

Проверяем условие $$N - N_{rev} < 400$$: $$297 < 400$$. Это условие выполняется.

Теперь проверим условие, что $$N$$ делится на 13.

$$N = 401 + 10b$$.

Переберем возможные значения $$b$$ (от 0 до 9):

• $$b=0: N=401$$. $$401 mod 13 \neq 0$$.
• $$b=1: N=411$$. $$411 = 13 \times 31 + 8$$.
• $$b=2: N=421$$. $$421 = 13 \times 32 + 5$$.
• $$b=3: N=431$$. $$431 = 13 \times 33 + 2$$.
• $$b=4: N=441$$. $$441 = 13 \times 33 + 12$$.
• $$b=5: N=451$$. $$451 = 13 \times 34 + 9$$.
• $$b=6: N=461$$. $$461 = 13 \times 35 + 6$$.
• $$b=7: N=471$$. $$471 = 13 \times 36 + 3$$.
• $$b=8: N=481$$. $$481 = 13 \times 37$$.

Найдено число $$N=481$$, которое удовлетворяет всем условиям для этого случая ($$a=4, c=1$$).

$$N_{rev} = 184$$. $$481 - 184 = 297 < 400$$. $$481 / 13 = 37$$. Первая цифра 4, последняя 1 (4/4=1). Все условия выполнены.

Рассмотрим случай 2: $$a=8, c=2$$.

Число $$N$$ имеет вид $$8b2$$.

$$N = 100 \times 8 + 10b + 2 = 802 + 10b$$.

$$N_{rev} = 100 \times 2 + 10b + 8 = 208 + 10b$$.

$$N - N_{rev} = (802 + 10b) - (208 + 10b) = 802 - 208 = 594$$.

Проверяем условие $$N - N_{rev} < 400$$: $$594 \not< 400$$. Это условие не выполняется.

Таким образом, единственный вариант, который удовлетворяет всем условиям, это $$N=481$$.

Ответ: 481