160. При каком значении b выражение \(\frac{81}{(0,5b+9)^2+(0,5b-9)^2}\) принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Упростим знаменатель, используя тождество \((x+9)^2+(x-9)^2=2x^2+162\), где \(x=0,5b\):

\[(0,5b+9)^2+(0,5b-9)^2=0,5b^2+162.\]

Следовательно, выражение равно \(\frac{81}{0,5b^2+162}\). При любом действительном \(b\) оно положительно, а при увеличении \(|b|\) стремится к нулю. Нулевого значения оно не достигает ни при каком конечном \(b\).

Ответ: наименьшего значения выражение не принимает; его точная нижняя грань — 0.