160. Существует ли куб, ребро которого выражается натуральным числом и у которого: а) сумма длин всех рёбер выражается простым числом; б) площадь поверхности выражается простым числом?

Пусть длина ребра куба равна натуральному числу \(a\).

а) У куба 12 рёбер, поэтому сумма их длин равна \(12a\). При \(a\geqslant1\) число \(12a\) делится на 12 и больше 1, значит, оно составное.

Следовательно, куба с таким свойством не существует.

б) Площадь поверхности куба равна \(6a^2\). При \(a\geqslant1\) число \(6a^2\) делится на 6 и больше 1, значит, оно составное.

Следовательно, куба с таким свойством также не существует.

Ответ: а) нет; б) нет.