163. Докажите, что серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. 1-й способ. Серединный перпендикуляр к отрезку (хорде) является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этой хорды. Центр окружности равноудалён от всех точек окружности, в том числе и от концов хорды. Следовательно, центр окружности лежит на перпендикуляре к хорде. 2-й способ. Рассмотрим диаметр, перпендикулярный к хорде. По обратной теореме о диаметре и хорде он проходит через середину хорды, т. е. лежит на перпендикуляре к хорде. Значит, серединный перпендикуляр к хорде проходит через окружности, что и требовалось доказать.

Решение:

1-й способ:

• Серединный перпендикуляр к отрезку (хорде) — это множество точек, равноудалённых от концов отрезка.
• Центр окружности по определению равноудалён от всех точек, лежащих на окружности.
• Так как хорда является отрезком, концы которого лежат на окружности, то центр окружности равноудалён от концов хорды.
• Следовательно, центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде.

2-й способ:

• Рассмотрим диаметр окружности, который перпендикулярен данной хорде.
• По теореме, диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то есть проходит через её середину.
• Таким образом, этот диаметр является серединным перпендикуляром к хорде.
• Поскольку диаметр проходит через центр окружности, то и серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Доказано.