164. \(\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b} + \frac{2ab}{a^2-b^2}\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю \( a^2 - b^2 \), который равен \( (a-b)(a+b) \).

1. Первая дробь: \( \frac{a}{a-b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2} \)
2. Вторая дробь: \( \frac{b}{a+b} = \frac{b(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{ab-b^2}{a^2-b^2} \)
3. Теперь выполним вычитание и сложение: \[ \frac{a^2+ab}{a^2-b^2} - \frac{ab-b^2}{a^2-b^2} + \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+ab) - (ab-b^2) + 2ab}{a^2-b^2} \]
4. Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{a^2+ab - ab + b^2 + 2ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2-b^2} \]
5. Числитель — это квадрат суммы: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \)
6. Сократим дробь: \[ \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a-b} \]

Ответ: \( \frac{a+b}{a-b} \).