164. На рисунке 128 прямая АС касается окружности с цент- ром О в точке А. Найдите ДВАС, если ДАОВ= 108°.

Решение:

На рисунке 128 прямая \( AC \) является касательной к окружности в точке \( A \), а \( OA \) — радиус, проведенный в точку касания.

Следовательно, радиус \( OA \) перпендикулярен касательной \( AC \). Это означает, что \( \angle OAC = 90^{\circ} \).

Нам дан центральный угол \( \angle AOB = 108^{\circ} \).

Угол \( \angle BAC \) является частью прямого угла \( \angle OAC \).

Мы можем найти \( \angle BAC \) как разность \( \angle OAC \) и \( \angle OAB \):

\( \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB \)

Сначала найдем \( \angle OAB \) в равнобедренном треугольнике \( \triangle AOB \) (так как \( OA = OB \) — радиусы).

Сумма углов в \( \triangle AOB \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)

Так как \( \angle OAB = \angle OBA \), то:

\( 2 \angle OAB + 108^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OAB = 180^{\circ} - 108^{\circ} \)

\( 2 \angle OAB = 72^{\circ} \)

\( \angle OAB = 36^{\circ} \)

Теперь найдем \( \angle BAC \):

\( \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \).

Ответ: 54°.