164. На рисунке 128 прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите \( \angle BAC \), если \( \angle AOB = 108^{\circ} \).

Решение:

Прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Это означает, что радиус ОА перпендикулярен касательной АС. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle AOB \):

• \( OA = OB \) (как радиусы окружности).
• Следовательно, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.
• Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).
• Сумма углов в \( \triangle AOB \) равна \( 180^{\circ} \): \( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \).
• Подставляем известные значения: \( 108^{\circ} + \angle OAB + \angle OAB = 180^{\circ} \).
• \( 108^{\circ} + 2 \angle OAB = 180^{\circ} \).
• \( 2 \angle OAB = 180^{\circ} - 108^{\circ} \).
• \( 2 \angle OAB = 72^{\circ} \).
• \( \angle OAB = 36^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle BAC \). Мы знаем, что \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OAB = 36^{\circ} \).

\( \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB \).

\( \angle BAC = 90^{\circ} - 36^{\circ} \).

\( \angle BAC = 54^{\circ} \).

Ответ: \( 54^{\circ} \).