164. На рисунке 128 прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите ∠BAC, если ∠AOB = 108.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии.

Что нам дано:

• Есть окружность с центром O.
• Прямая AC касается окружности в точке A.
• ∠AOB = 108°.

Что нужно найти: угол ∠BAC.

Разбираемся:

1. Так как прямая AC касается окружности в точке A, то радиус OA перпендикулярен касательной AC. Это значит, что ∠OAC = 90°.
2. Рассмотрим треугольник OAB. OA и OB — это радиусы окружности, поэтому они равны. Следовательно, треугольник OAB — равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике OAB углы при основании AB равны. То есть, ∠OAB = ∠OBA.
4. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Для треугольника OAB: \[ ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180° \]
5. Подставим известное значение ∠AOB = 108°: \[ 108° + ∠OAB + ∠OBA = 180° \]
6. Так как ∠OAB = ∠OBA, то: \[ 108° + 2 \times ∠OAB = 180° \]
7. Вычтем 108° из обеих частей: \[ 2 \times ∠OAB = 180° - 108° \]
8. \[ 2 \times ∠OAB = 72° \]
9. Разделим на 2: \[ ∠OAB = 36° \]
10. Теперь нам нужно найти ∠BAC. Мы знаем, что ∠OAC = 90° и ∠OAB = 36°.
11. Угол ∠OAC состоит из двух углов: ∠OAB и ∠BAC.
12. \[ ∠OAC = ∠OAB + ∠BAC \]
13. Подставим известные значения: \[ 90° = 36° + ∠BAC \]
14. Вычтем 36° из обеих частей: \[ ∠BAC = 90° - 36° \]
15. \[ ∠BAC = 54° \]

Ответ: 54°.