164 На рисунке 62 прямая ВС касается окружности с центром О в точке В. Найдите ∠AOB, если ∠ABC = 63°.

Так как ВС касается окружности в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной ВС. Следовательно, ∠OBC = 90°. Угол ∠AOB является центральным углом, опирающимся на дугу АВ. Угол ∠ACB является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу АВ. Угол ∠ABC = 63°. В треугольнике ОВС, ∠BOC = 180° - 90° - ∠OCB. В треугольнике АОВ, ОА = ОВ (радиусы), следовательно, треугольник АОВ равнобедренный. Угол ∠AOB = 180° - 2 * ∠OAB. Угол ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC. Так как ∠OBC = 90°, то ∠ABO = ∠ABC - 90° = 63° - 90° = -27°, что невозможно. Пересмотрим условие. Угол ∠ABC = 63° является внешним углом треугольника ОВА. Угол ∠OBC = 90°. В треугольнике ОВС, ∠BOC = 180° - 90° - ∠OCB. Угол ∠AOB = 180° - ∠BOC. В треугольнике АОВ, ОА = ОВ, значит ∠OAB = ∠OBA. ∠ABC = 63°. Так как ВС касается окружности в точке В, то ∠OBC = 90°. Угол ∠OBA = ∠OBC - ∠ABC = 90° - 63° = 27°. Так как треугольник АОВ равнобедренный (ОА = ОВ), то ∠OAB = ∠OBA = 27°. Сумма углов в треугольнике АОВ равна 180°. ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - (27° + 27°) = 180° - 54° = 126°.