164. На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, E, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Пусть длина каждой из равных сторон треугольника ABC равна s, а AD = BE = CF = t. По рисунку точки D, E, F лежат соответственно на сторонах AC, AB, BC.

Рассмотрим поворот на 120° вокруг центра равностороннего треугольника ABC в направлении от A к B, от B к C и от C к A. Этот поворот переводит A в B, сторону AC — в сторону BA, а точку D — в точку E, поскольку AD = BE. Аналогично E переходит в F, а F — в D.

Поворот сохраняет расстояния, поэтому DE = EF = FD. Следовательно, треугольник DEF равносторонний.