165. а) Точка H — внешняя точка относительно окружности с диаметром AB. Докажите, что ∠AHB — острый. Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC. Точка C лежит на ______, значит, ∠ACB = ______. ∠ACB — внешний угол треугольника ______, не смежный с углом H. Следовательно, ∠H < ______ = 90°, т. е. угол ACB ______, что и требовалось доказать.

Решение:

Дано: Точка H — внешняя точка относительно окружности с диаметром AB. Точка C лежит на окружности.

Доказать: ∠AHB — острый.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Точка C лежит на окружности, значит, ∠ACB = 90°. ∠ACB — внешний угол треугольника ABC, не смежный с углом H.
2. Следовательно, ∠H < 90° = 90°, т. е. угол ACB прямой, что и требовалось доказать.

Объяснение:

• Поскольку C лежит на окружности с диаметром AB, угол ∠ACB является вписанным углом, опирающимся на диаметр. Следовательно, ∠ACB = 90°.
• Угол ∠ACB является внешним углом треугольника AHB. Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего, не смежного с ним.
• Таким образом, ∠ACB > ∠AHB. Поскольку ∠ACB = 90°, то ∠AHB < 90°, то есть угол ∠AHB острый.