165. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b: 1) a = 2³.3.5 и b = 2.3².5; 2) a = 2⁴.3.11 и b = 2².3³.13.

Решение:

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел, представленных в виде разложения на простые множители, нужно:

• НОД: взять общие простые множители в наименьшей степени.
• НОК: взять все простые множители в наибольшей степени.

1) a = 2³ · 3¹ · 5¹ и b = 2¹ · 3² · 5¹

• НОД(a, b): общие множители — 2, 3, 5. Наименьшие степени: 2¹, 3¹, 5¹.
• НОД(a, b) = \( 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \).
• НОК(a, b): все множители — 2, 3, 5. Наибольшие степени: 2³, 3², 5¹.
• НОК(a, b) = \( 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360 \).

2) a = 2⁴ · 3¹ · 11¹ и b = 2² · 3³ · 13¹

• НОД(a, b): общие множители — 2, 3. Наименьшие степени: 2², 3¹.
• НОД(a, b) = \( 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 \).
• НОК(a, b): все множители — 2, 3, 11, 13. Наибольшие степени: 2⁴, 3³, 11¹, 13¹.
• НОК(a, b) = \( 2^4 \cdot 3^3 \cdot 11^1 \cdot 13^1 = 16 \cdot 27 \cdot 11 \cdot 13 = 432 \cdot 143 = 61776 \).

Ответ:

1) НОД = 30, НОК = 360.

2) НОД = 12, НОК = 61776.