165. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби: а) $\left(n+\frac{1}{n}\right)^2$; б) $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2$; в) $\left(\frac{x}{y}+1\right)^2+\left(\frac{x}{y}-1\right)^2$; г) $\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)^2-\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 165. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби: а) $\left(n+\frac{1}{n}\right)^2$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулу квадрата суммы: $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$.
а) $\left(n+\frac{1}{n}\right)^2=n^2+2\cdot n\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}=n^2+2+\frac{1}{n^2}$.
Используем формулу квадрата разности: $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$.
б) $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}-2+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}$.
Раскроем оба квадрата по формулам квадрата суммы и разности; смешанные слагаемые взаимно уничтожаются:
в) $\left(\frac{x}{y}+1\right)^2+\left(\frac{x}{y}-1\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+2\frac{x}{y}+1+\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}+1=\frac{2x^2}{y^2}+2=\frac{2(x^2+y^2)}{y^2}$.
Используем тождество $(u+v)^2-(u-v)^2=4uv$:
г) $\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)^2-\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)^2=4\cdot\frac{p}{q}\cdot\frac{q}{p}=4$.

Ответ: а) $n^2+2+\frac{1}{n^2}$; б) $\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}$; в) $\frac{2(x^2+y^2)}{y^2}$; г) $4$.