165. Решите уравнение:

Решение:

1. 
   

   \(\frac{x^2 + 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10}\)

   
   

   Умножим обе части на \( x + 10 \), предполагая, что \( x \neq -10 \):

   
   

   \( x^2 + 8x = 20 \)

   
   

   \( x^2 + 8x - 20 = 0 \)

   
   

   Найдём дискриминант:

   
   

   \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \]

   
   

   \( \sqrt{D} = 12 \)

   
   

   Найдём корни:

   
   

   \[ x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

   
   

   \[ x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

   
   

   Так как \( x \neq -10 \), то \( x = 2 \) является единственным решением.

   
   


2. 
   

   \(\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{2x - 2}{x^2 - 4}\)

   
   

   Умножим обе части на \( x^2 - 4 \), предполагая, что \( x^2 \neq 4 \) (т.е. \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \)):

   
   

   \( 2x^2 - 3x = 2x - 2 \)

   
   

   \( 2x^2 - 3x - 2x + 2 = 0 \)

   
   

   \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)

   
   

   Найдём дискриминант:

   
   

   \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \]

   
   

   \( \sqrt{D} = 3 \)

   
   

   Найдём корни:

   
   

   \[ x_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

   
   

   \[ x_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

   
   

   Так как \( x \neq 2 \), то \( x = 0.5 \) является единственным решением.

   
   


3. 
   

   \(\frac{5x + 3}{x + 5} = \frac{3x + 1}{x + 2}\)

   
   

   Умножим обе части на \( (x + 5)(x + 2) \), предполагая, что \( x \neq -5 \) и \( x \neq -2 \):

   
   

   2\((5x + 3)(x + 2) = (3x + 1)(x + 5)\)

   
   

   \( 5x^2 + 10x + 3x + 6 = 3x^2 + 15x + x + 5 \)

   
   

   \( 5x^2 + 13x + 6 = 3x^2 + 16x + 5 \)

   
   

   \( 5x^2 - 3x^2 + 13x - 16x + 6 - 5 = 0 \)

   
   

   \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \)

   
   

   Найдём дискриминант:

   
   

   \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

   
   

   \( \sqrt{D} = 1 \)

   
   

   Найдём корни:

   
   

   \[ x_1 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \]

   
   

   \[ x_2 = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \]

   
   

   Оба корня \( x = 1 \) и \( x = 0.5 \) не равны \( -5 \) и \( -2 \), поэтому оба являются решениями.

   
   


4. 
   

   \(\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}\)

   
   

   Приведём левую часть к общему знаменателю \( (x + 3)(x + 5) \), предполагая, что \( x \neq -3 \) и \( x \neq -5 \):

   
   

   2\(\frac{(x + 5) - (x + 3)}{(x + 3)(x + 5)} = \frac{1}{4}\)

   
   

   2\(\frac{x + 5 - x - 3}{x^2 + 5x + 3x + 15} = \frac{1}{4}\)

   
   

   2\(\frac{2}{x^2 + 8x + 15} = \frac{1}{4}\)

   
   

   Умножим крест-накрест:

   
   

   \( 2 \cdot 4 = 1 \cdot (x^2 + 8x + 15) \)

   
   

   \( 8 = x^2 + 8x + 15 \)

   
   

   \( x^2 + 8x + 15 - 8 = 0 \)

   
   

   \( x^2 + 8x + 7 = 0 \)

   
   

   Найдём дискриминант:

   
   

   \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 \]

   
   

   \( \sqrt{D} = 6 \)

   
   

   Найдём корни:

   
   

   \[ x_1 = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

   
   

   \[ x_2 = \frac{-8 - 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

   
   

   Оба корня \( x = -1 \) и \( x = -7 \) не равны \( -3 \) и \( -5 \), поэтому оба являются решениями.

   
   

Ответ: 1) 2; 2) 0.5; 3) 1; 0.5; 4) -1; -7.