165. Трапеция KLMN с основанием KL вписана в окружность. Найдите углы М, N и К, если ∠L = а, и определите вид трапеции. Закончите изображение трапеции на рисунке.

Решение.

1. По условию отрезок KL является основанием трапеции. Значит, LM — боковая сторона. Поэтому углы L и M являются односторонними при пересечении параллельных прямых KL и MN секущей LM. Следовательно, ∠L + ∠M = 180°. Отсюда получаем ∠M = 180° - ∠L = 180° - α.
2. Так как трапеция по условию вписана в окружность, то по теореме о сумме противоположных углов четырёхугольника ∠L + ∠N = 180° и ∠K + ∠M = 180°. Значит, ∠N = 180° - ∠L = 180° - α.
3. Следовательно, трапеция равнобедренная, поэтому ∠K = ∠L = α.

Ответ: ∠M = 180° - α, ∠N = 180° - α, ∠K = α. Трапеция равнобедренная.