166. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой a и на одинаковом расстоянии от неё, опущены на эту прямую перпендикуляры AC и BD. Найдите угол ACB, если ∠ADC = 25°.

Так как точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой a, длины перпендикуляров равны: AC = BD. Кроме того, AC ⟂ a и BD ⟂ a, поэтому AC ∥ BD.

Отрезки, соединяющие соответствующие концы двух равных параллельных отрезков, также параллельны и равны: AB ∥ CD. Следовательно, четырёхугольник ACDB — параллелограмм; поскольку AC ⟂ CD, это прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому AD = CB. В треугольнике ADC угол при C прямой, значит ∠CAD = 90° − 25° = 65°. В равнобедренном треугольнике ACB (AC = AB, так как противоположные стороны прямоугольника равны) искомый угол при C равен углу CAD.

Ответ: ∠ACB = 65°.