166 Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. Точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что точка O — середина отрезка MN.

Решение:

Чтобы доказать, что точка O является серединой отрезка MN, мы можем воспользоваться методом векторов или рассмотреть треугольники.

1. Рассмотрим треугольники:

   Возьмем треугольник ΔAOC и ΔBOD. Поскольку O — середина AB и CD, то AO = OB и CO = OD. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, они равны.

   По двум сторонам и углу между ними (САС), ΔAOC = ΔBOD. Это означает, что AC = BD.

2. Рассмотрим треугольники:

   Теперь рассмотрим ΔMOC и ΔNOD. M — середина AC, значит, AM = MC = ½ AC. N — середина BD, значит, BN = ND = ½ BD.

   Поскольку AC = BD, то MC = ND.

   Углы ∠MOC и ∠NOD также являются вертикальными, значит, они равны.

   По двум сторонам (MC = ND) и углу между ними (∠MOC = ∠NOD), ΔMOC = ΔNOD. Следовательно, MO = NO.

   Это доказывает, что точка O является серединой отрезка MN.

3. Альтернативное решение с использованием векторов:

   Пусть O — начало координат, тогда рв(O) = вектор{0}.

   По условию, O — середина AB, значит рв(A) + рв(B) = 2рв(O) = вектор{0}. Отсюда рв(B) = -рв(A).

   Аналогично, O — середина CD, значит рв(C) + рв(D) = 2рв(O) = вектор{0}. Отсюда рв(D) = -рв(C).

   M — середина AC, следовательно, рв(M) = ½ (рв(A) + рв(C)).

   N — середина BD, следовательно, рв(N) = ½ (рв(B) + рв(D)).

   Подставим рв(B) = -рв(A) и рв(D) = -рв(C) в выражение для рв(N):

   рв(N) = ½ (-рв(A) - рв(C)) = -½ (рв(A) + рв(C)).

   Сравнивая рв(M) и рв(N), видим, что рв(N) = -рв(M).

   Это означает, что векторы рв(OM) и рв(ON) равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, O является серединой отрезка MN.

Доказано.